Задачи по курсу «Численные методы»

1.1 Привести системы к виду, удобному для итераций. Решить системы методом простой итерации с точностью до 10^-2. (Погрешность оценивать либо по вектору невязки, либо по модулю разности между двумя соседними итерациями.).

а) б)

1.2 Привести системы к виду, удобному для итераций. Решить системы методом Зейделя с точностью до 10^-2. (Погрешность оценивать либо по вектору невязки, либо по модулю разности между двумя соседними итерациями.)

а) б)

2.1 Определить наибольшее по модулю собственное значение и собственный вектор. (Наибольшее собственное значение – простое и вещественное)

2.2 Определить наибольшее по модулю собственное значение и собственный вектор. (Наибольшие собственные значение – простые, вещественные и противоположные по знаку)

3.1 Найти приближенное положительное значение корня уравнения методом Ньютона с точностью до .

3.2 Найти приближенное положительное значение корня уравнения методом Ньютона с точностью до .

3.3 Найти приближенное положительное значение корня уравнения методом половинного деления с точностью до .

3.4 Найти приближенное положительное значение корня уравнения методом половинного деления с точностью до .

3.5 Найти приближенное положительное значение корня уравнения методом Ньютона с точностью до .

3.6 Найти приближенное положительное значение корня уравнения методом половинного деления с точностью до .

4.1 Приближенно найти положительные решения систем уравнений

а) б) в)

4.2 Методом Ньютона приближенно найти положительное решение системы уравнений

исходя из начального приближения .

5.1 Построить конечные разности для функции P(x)=xⁿ, где n – целое положительное.

5.2 Составить горизонтальную и диагональную таблицы разностей функции y=4x⁴-5x³+2x²-3x+4 от начального значения x₀=0, приняв шаг h=1.

5.3 Составить горизонтальную и диагональную таблицы разностей функции y=2x³-4x²-6x+1 от начального значения x₀=0, приняв шаг h=1.

5.4 Приняв шаг h=0.05, построить на отрезке [3.5;3.6] интерполяционный многочлен Ньютона для функции y=e^x, заданной таблицей

x	3.50	3.55	3.60	3.65	3.70
y	33.115	34.813	36.598	38.475	40.447

5.5 Построить эмпирическую формулу для функции y, заданной таблицей

x	0	1	2	3	4	5
y	5.2	8.0	10.4	12.4	14.0	15.2

6.1 Для функции y=sinπx построить интерполяционный полином Лагранжа, выбрав узлы

6.2 Дана таблица значений функции y=f(x)

x	321	323	324	325
y	2.5	2.6	2.7	2.8

Вычислить значение f(323.5), приблизив функцию с помощью многочлена Лагранжа.

6.3Для функции y=cosπx построить интерполяционный полином Лагранжа, выбрав узлы

6.4 Дана таблица значений функции y=f(x)

x	15	16	17	18
y	4.0	4.3	4.5	4.2

Вычислить значение f(16.5), приблизив функцию с помощью многочлена Лагранжа.

7.1 Вычислить приближенное значение интеграла по формуле трапеций, приняв n=10. Оценить значение теоретической погрешности. Сравнить с точным значением интеграла. Вычисления проводить, сохраняя три знака после запятой.

7.2 Вычислить приближенное значение интеграла по формуле Симпсона, приняв n=8. Оценить значение теоретической погрешности Сравнить с точным значением интеграла. Вычисления проводить, сохраняя шесть знаков после запятой.

,

7.3 Вычислить приближенно по формуле Симпсона с точностью до 0.001.

7.4 Вычислить приближенно по формуле Симпсона с точностью до 0.001.

8.1 Используя метод Эйлера, найти значения функции y, определяемой дифференциальным уравнением при начальном условии y(0)=1; шаг h=0.1, ограничиться отысканием первых четырех значений y.

8.2 Используя метод Эйлера, найти значения функции y, определяемой дифференциальным уравнением при начальном условии y(0)=1; шаг h=0.1, ограничиться отысканием первых четырех значений y.

8.3 Методом Рунге-Кутта проинтегрировать уравнение при начальном условии y(1)=0 в промежутке [1,2], шаг h=0.2.

8.4 Используя метод Эйлера, найти значения функции y, определяемой дифференциальным уравнением при начальном условии y(0)=1; шаг h=0.1. ограничиться отысканием первых трех значений y.

8.5 Используя метод Эйлера, найти значения функции y, определяемой дифференциальным уравнением при начальном условии y(2)=4; шаг h=0.1. ограничиться отысканием первых четырех значений y.

9.1 Графическим методом найти наибольшее значение функции при ограничениях

9.2 Минимизировать функцию L = x₁ — х₂ при ограничениях: 3≤x₁ + x₂ ≤7, 1≤х₂ ≤4, х₁ ≤4.

9.3 Найти наибольшее значение функции L = — x₁ +2x₂ при ограничениях: х₁ — 8х₂ ≤10, х₁+ х₂≥1, х₁ — 5х₂ ≥—5, Зх₁ + 10х₂ ≤30.

9.4 Максимизировать линейную форму L = x₂ + x₃ при ограничениях:

х₁-x₂+x₃=1, х₂—2x₃ +x₄ = 2.

9.5 Задана система ограничений: х₁ +х₂ +2х₃—х₄ = 3, х₂ + 2х₄ = 1 и линейная форма L=5x₁—x₃. Найти оптимальное решение, минимизирующее линейную форму.

9.6 Для изготовления изделий двух видов имеется 100 кг металла. На изготовление одного изделия I вида расходуется 2 кг металла, а изделия II вида—4 кг. Составить план производства, обеспечивающий получение наибольшей прибыли от продажи изделий, если отпускная стоимость одного изделия I вида составляет 3 руб., а изделия II вида — 2 руб., причем изделий I вида требуется изготовить не более 40, а изделий II вида—не более 20.

9.7. Производственная мощность цеха сборки составляет 120 изделий типа А и 360 изделий типа В в сутки. Технический контроль пропускает в сутки 200 изделий того или другого типа (безразлично). Изделия типа А вчетверо дороже изделий типа В. Требуется спланировать выпуск готовой продукции так, чтобы предприятию была обеспечена наибольшая прибыль.

ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ

Требования к оформлению отчета о выполнении лабораторной работы

В отчет о выполнении лабораторной работы необходимо включить следующие пункты:

1. Тема лабораторной работы.

2.Постановка задачи и вариант задания.

3. Математическое описание метода решения поставленной задачи.

4. Листинг программы.

5. Результаты выполнения программы.

6. Анализ результатов и выводы.

Лабораторная работа №1.

Итерационные методы решения систем уравнений.

Цель работы – решение системы уравнений одним из итерационных методов.

Теоретическая часть.

1. Метод простой итерации.

Рассмотрим систему уравнений

(1.1)

Разделим каждое уравнение системы (1.1) на диагональный элемент. Получим систему

или в матричной форме

, (1.2)

где

, (1.3)

Данное преобразование системы (1.1) в систему (1.2) равносильно умножению системы (1.1) слева на матрицу

Таким образом, ,

где - диагональная матрица .

Выберем начальное приближение . Строим последовательные приближения по формулам

, (1.4)

или в развернутом виде

Необходимое и достаточное условие сходимости процесса простой итерации состоит в том, что все собственные значения матрицы были по модулю меньше единицы. Укажем достаточные признаки сходимости процесса последовательных приближений:

Если выполняется одно из условий:

I. при

II. при

Ш. ,

то процесс последовательных приближений сходится.

Это равносильно преобладанию диагональных элементов в исходной матрице .

2. Метод Зейделя.

Пусть система уравнений представлена в виде

, (1.5)

где .

Метод Зейделя похож на метод простой итерации с той лишь разницей, что при вычислении -го приближения для -й компоненты учитываются вычисленные уже ранее -е приближения для компонент .

Вычисление последовательных приближений ведется по формулам

(1.6)

Рассмотрим вопрос об устойчивости решения относительно изменения элементов матрицы.

Теоретическое решение системы дается формулой ,

где - матрица, обратная к . Обратную матрицу называют устойчивой, если малым изменениям в элементах матрицы соответствуют малые изменения в элементах обратной матрицы. Очевидно, что необходимым условием устойчивости обратной матрицы является то, чтобы определитель матрицы не был бы близок к нулю. Но это условие не является достаточным. В качестве меры близости к вырожденности матрицы рассматривают числа обусловленности:

,

где - собственное значение матрицы ; и .

Матрицу называют плохо обусловленной, если соответствующая ей обратная матрица неустойчива.

Чем больше числа обусловленности, тем хуже обусловленность матрицы.

На практике этим определением обусловленности воспользоваться достаточно трудно, т.к. это связано с нахождением обратной матрицы и собственных значений матрицы. Поэтому обычно ограничиваются проверкой условия . Для этого систему нормируют, т.е. -е уравнение системы делят на величину , а затем определитель полученной матрицы сравнивают с единицей. Малость указанного определителя по сравнению с единицей является признаком плохой обусловленности системы.

Подготовка системы уравнений к виду,

удобному для применения метода

последовательных приближений.

Пусть матрица положительно определена. (Этого можно всегда добиться путем умножения матричного уравнения слева на транспонированную матрицу A^Т. Тогда система всегда может быть подготовлена к виду, в котором метод последовательных приближений будет сходящимся. Подготовка состоит в переходе от данной системы к равносильной системе ,

где - некоторая неособенная матрица, которая выбирается так, чтобы матрица была бы близка к единичной.

Положим

, (1.7)

где - норма матрицы . Тогда система уравнений преобразуется к виду

. (1.8)

Собственные значения матрицы

будут заключены в открытом интервале (-1,1), в силу того собственные значения положительно определенной матрицы находятся в интервале . Следовательно, метод последовательных приближений для системы (1.8) будет сходящимся.

Порядок выполнения работы.

1. Изучить теоретическую часть.

2. Написать программу решения системы одним из указанных методов. Отладить программу на модельной задаче.

3. Определить три нормы матрицы.

4. Вычислить нормированный определитель матрицы.

5. Найти решение системы с заданной точностью. Для этого выход из цикла, осуществляющего итерационный процесс, производить, как только норма соответствующего вектора невязки станет меньше наперед заданной точности ε.

Выход из цикла можно также осуществлять, как только норма разности между векторами решений, полученных на данном шаге и на предыдущем станет меньше заданной погрешности.

6. Исследовать скорость сходимости метода в зависимости от числа итерации.

7. Сделать выводы о точности метода и быстроте его сходимости, а также об устойчивости матрицы исходя из величины его нормированного определителя.

Варианты заданий.

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) ,

9) ,

10) ,

11) ,

12) ,

13) ,

14) ,

15) ,

16) ,

17) ,

18) ,

19) ,

20) ,

21) ,

22) ,

23) ,

24) ,

25) ,