19. Разностные методы решения дифференциальных уравнений.

Метод конечных разностей

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение

(19.1)

с двухточечными линейными краевыми условиями

(19.2)

где р (х), q (х) и f(x)— непрерывны на отрезке [а,b].

Одним из наиболее простых методов решения этой краевой задачи является сведение ее к системе конечно-разностных уравнений. Для этого разобьем основной отрезок [а, b] на п paвных частей длины h (шаг), где

Точки разбиения имеют абсциссы x_i = x_o +ih (i = 0, 1, 2, ..., n) x₀ = а; х_п = b.

Значения в точках деления x_i искомой функции у=у(х) и ее производных у'=у'(x), у" =у" (х) обозначим соответственно через

Введем также обозначения:

Заменяя производные правыми односторонними конечно-разностными отношениями, для внутренних точек x_i отрезка [а, b] приближенно будем иметь

(19.3)

Для концевых точек х₀ =а и х_п = b полагаем

и (19.4)

Используя формулы (19.3), дифференциальное уравнение (19.1) при x = x_i (i=l, 2, ..., п—1) приближенно можно заменить линейной системой уравнений

(19.5)

Кроме того, в силу формул (19.4) краевые условия (19.2) дополнительно дают еще два уравнения:

(19.6)

Таким образом, получена линейная система п+1 уравнений с n+1 неизвестными у₀, у_1,…,у_п, представляющими собой значения искомой функции у=у(х) в точках х₀, х_1, ...,х_п. Решив эту систему, если это возможно, получим таблицу значений искомой фикции у.

Более точные формулы получаются, если воспользоваться симметричными конечно-разностными отношениями:

(19.7)

Для производных в концевых точках х₀ = а и х_п =b в общем случае по необходимости приходится пользоваться формулами (19.4). Отсюда получаем систему:

(19.8)

Метод прогонки.

При применении метода конечных разностей к краевым задачам для дифференциальных уравнений второго порядка получается «трехчленная система» линейных алгебраических уравнений, каждое и которых содержит три соседних неизвестных. Для решения такой системы разработан специальный метод, получивший название метода прогонка.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение (19.1) с двухточечными линейными краевыми условиями (19.2) в предположении, что функции р (х), q(х), f(х) непрерывны на [а,b].

От дифференциального уравнения (19.1) обычным приемом перейдем к конечно-разностному уравнению. Для этого разобьем отрезок [а, b] на п равных частей с шагом .

Полагая x_i = x_o +ih (i = 0, 1, 2, ..., n) x₀ = а; х_п = b и вводя обозначения

получаем при x = x_i вместо дифференциального уравнения (19.1) следующее конечно-разностное уравнение:

Отсюда после упрощения будем иметь

(19.9)

или, введя сокращенные обозначения

окончательно получим

(19.10)

причем из краевых условий (19.2) имеем

(19.11)

Линейная система (19.10), (19.11) состоит из п+1 уравнений относительно n+1 неизвестных у₀, у₁, у₂, ...,у_п. Эту систему можно решить обычным способом. Однако укажем другой, более короткий путь. Разрешая уравнение (19.10) относительно y_{i + 1}, находим

(19.12)

Предположим, что с помощью полной системы (19.10) из уравнения исключен член, содержащий у_i. Тогда уравнение (19.12) может быть записано в виде

(19.13)

где коэффициенты с_i, d_i подлежат определению. Найдем формулы для этих коэффициентов. При i = 0 из формулы (19.12) и краевых условий (19.11) следует, что

Исключая из этих двух уравнений у₀, получим:

Разрешая последнее уравнение относительно у₁, находим

(19.14)

Но согласно формуле (19.13) имеем

(19.15)

Отсюда, сравнивая формулы (19.14) и (19.15), находим

(19.16)

Пусть теперь i> 0 (i=1,2, ,.., п — 2). Выражая y_i по формуле (19.13), получим

Подставляя это выражение в формулу (19.12), будем иметь

Разрешая полученное уравнение относительно у_i+1, находим

или

(19.17)

Отсюда, сравнивая формулы (19.13) и (19.17), получаем для коэффициентов c_i и d_i рекуррентные формулы:

(19.18)

На основании формул (19.18), используя формулы (19.16) для с₀ и d₀, можно последовательно определить коэффициенты с_i- и d_i (i = 1,2, ..., п — 2) до с_n-2 и d_n-2 включительно (прямой ход). Из формулы (19.13) при i = n — 2 и второго краевого условия (19.11) получаем

Решая эту систему двух уравнений относительно у_п, будем иметь

(19.19)

Теперь, используя формулу (19.13) и первое краевое условие (19.11), мы можем последовательно найти y_n-1, y_n-2, .,., у₀ (обратный ход):

(19.20)

Для простейших краевых условий:

формулы для с₀, d₀, y₀ и у_п упрощаются. А именно, полагая

из формул (19.16), (19.19) и (19.20) будем иметь

(19.21)

(19.22)