17. Приближенное вычисление определенных интегралов по формулам трапеций и Симпсона.

Формула трапеций и ее остаточный член. Применяя формулу (16.14), при n = 1 имеем:

отсюда

(17.1)

рис. 12

Мы получили известную формулу трапеций для приближенного вычисления определенного интеграла (рис. 12).

Остаточный член (ошибка) квадратурной формулы (17.1) равен

Предполагая, что y C⁽²⁾[a, b], выведем простую формулу для остаточного члена. Будем рассматривать R=R(h) как функцию шага h; тогда можно положить:

Дифференцируя эту формулу по h последовательно два раза, получим:

и

причем

Отсюда, интегрируя по h и используя теорему о среднем, последовательно выводим:

где и

где

Таким образом, окончательно имеем:

(17.2)

где

Формула Симпсона и ее остаточный член.

Из формулы (16.14) при п = 2 получаем:

Следовательно, так как х₂- x_o = 2h, имеем:

(17.3)

Формула (17.3) носит название формулы Симпсона.

Остаточный член формулы Симпсона равен

Предполагая, что у С⁽⁴⁾ [а, b], аналогично тому как это делалось для формулы трапеций, выведем более простое выражение для R. Фиксируя среднюю точку х₁ и рассматривая R = R(h) как функцию шага h (h≥0), будем иметь:

Отсюда, дифференцируя функцию R(h) по h последовательно три раза, получим:

где

Кроме того, имеем:

Последовательно интегрируя используя теорему о среднем, находим:

где

где

где

Таким образом, остаточный член формулы Симпсона равен

(17.4)

Следовательно, эта формула является точной для полиномов не только второй, но и третьей степени, т. е. формула Симпсона при относительно малом числе ординат обладает повышенной точностью.

Формулы Ньютона-Котеса высших порядков.

Производя соответствующие вычисления при п = 3, получим из формулы (16.14) квадратурную формулу Ньютона

(17.15)

- (правило трех восьмых).

Остаточный член формулы (17.15) равен

где (x₀, x₃), т. е. при одинаковом шаге формула Ньютона менее точна, чем формула Симпсона.

Общая формула трапеций (правило трапеций)

Для вычисления интеграла

разделим промежуток интегрирования [а, b] на n равных частей [х₀, х₁], [х₁,х₂],…,[x_n-1,x_n] и к каждому из них применим формулу трапеций. Полагая и обозначая через y_i = f (x_i) (i = 0, 1,…,n) значения подынтегральной функции в точках x_i, будем иметь:

или

(17.16)

Геометрически формула (17.16) получается в результате замены графика подынтегральной функции у = f(x) ломаной линией (рис.13 ).

Если у С ⁽²⁾[а, b], то остаточный член квадратурной формулы (17.16) равен

где

Рассмотрим среднее арифметическое

(17.17)

Очевидно, μ заключается между наименьшим т₂ и наибольшим М₂ значениями второй производной у" на отрезке [а, b], т. е.

Рис. 13

Так как у" непрерывна на отрезке [а,b], то в качестве своих значений на [а,b] она принимает все промежуточные числа между m₂ и М₂. Следовательно, найдется точка ξ [а, b] такая, что

Из формул (17.16) и (17.17) имеем:

где

Общая формула Симпсона (параболическая формула)

Пусть п = 2т есть четное число и y_i = f (x_i) (i = 0, 1, 2, .. ., n) — значения функции y = f(x) для равноотстоящих точек а = х₀, x₁ . .. .. ., x_n = b с шагом

Применяя формулу Симпсона к каждому удвоенному промежутку [x₀, x₂], [x₂, x₄],…,[x_2m-2 , x_2m ] длины 2h (рис. 14),будем иметь:

Отсюда получаем общую формулу Симпсона

(17.18)

Рис. 14

Если у С⁽⁴⁾ [а, b], то ошибка формулы Симпсона на каждом удвоенном промежутке [x_2k-2. x_2k] (k=l, 2,…,т) дается формулой

где (x_2k-2, x_2k). Суммируя все эти ошибки, получим остаточный член общей формулы Симпсона в виде

Так как непрерывна на отрезке [а, b], то найдется точка такая, что

Поэтому будем иметь:

где