12. Интерполирование функций.

Простейшая задача интерполирования заключается в следующем. На отрезке [а, b] заданы п+1 точки х₀, x₁ .... х_п, которые

Рис.8.

называются узлами интерполяции, и значения некоторой функции f(х) в этих точках

Требуется построить функцию F(х) (интерполирующая функция), принадлежащую известному классу и принимающую в узлах интерполяции те же значения, что и f(х), т. е. такую, что

Геометрически это обозначает, что нужно найти кривую у=F(х) некоторого определенного типа, проходящую через заданную систему точек M_i(x_i у_i.) (i=0, 1, 2, ...) (рис 8).

В такой общей постановке задача может иметь бесчисленное множество решений или совсем не иметь решений.

Однако эта задача становится однозначной, если вместо произвольной функции F(х) искать полином Р_п(х) степени не выше n, такой, что

Полученную интерполяционную формулу

y = F(x)

обычно используют для приближенного вычисления значений данной функции f(х) для значений аргумента х, oтличных от узлов интерполирования. Такая операция называется интерполированием функции f (х). При этом различают интерполирование в узком смысле, когда х [х₀, х_п], т. е. значение х является промежуточным между х₀ и х_п, и экстраполирование, когда х [х₀, х_п].

Первая интерполяционная формула Ньютона.

Пусть для функции y = f(x) заданы значения y_i = f(x_i) для равноотстоящих значений независимой переменной: x_i=х_о+ih (i=0,1,2,....,n), где h—шаг интерполяции. Требуется подобрать полином Р_п(х) степени не выше n, принимающий в точках x_i значения

(12.1)

Условия (12.1) эквивалентны тому, что

при m=0,1,2,…,n.

Следуя Ньютону, будем искать полином в виде

(12.2)

Пользуясь обобщенной степенью, выражение (12.2) запишем так:

(12.3)

Наша задача состоит в определении коэффициентов (i=0,1,2,…,n) полинома Полагая в выражении (12.3), получим:

Чтобы найти коэффициент , составим первую конечную разность

Полагая в последнем выражении , получим:

откуда

Для определения коэффициента составим конечную разность второго порядка

Положив , получим:

откуда

Последовательно продолжая этот процесс, мы обнаружим, что

где положено

0!=1 и

Подставляя найденные значения коэффициентов в выражение (12.3), получим интерполяционный полином Ньютона

(12.4)

Легко видеть, что полином (12.4) полностью удовлетворяет требованиям поставленной задачи. Действительно, во-первых, степень полинома не выше n, во-вторых,

и

Заметим, что при h→0 формула (12.4) превращается в полином Тейлора для функции у.

Отсюда при h→0 формула (12.4) принимает вид полинома Тейлора:

Для практического использования интерполяционную формулу Ньютона (12.4) обычно записывают в несколько преобразованном виде. Для этого введем новую переменную q по формуле

тогда

Подставляя эти выражения в формулу (12.4), получим:

(12.5)

где представляет собой число шагов, необходимых для достижения точки х, исходя из точки х₀. Это и есть окончательный вид первой интерполяционной формулы Ньютона.

Вторая интерполяционная формула Ньютона. Первая интерполяционная формула Ньютона практически неудобна для интерполирования функции вблизи конца таблицы. В этом случае обычно применяется вторая интерполяционная формула Ньютона.

Пусть имеем систему значений функции

для равноотстоящих значений аргумента

Построим интерполирующий полином следующего вида:

или, используя обобщенную степень, получаем:

(12.6)

Наша задача состоит в определении коэффициентов (i=0,1,2,…,n) таким образом, чтобы были выполнены равенства

Для этого необходимо и достаточно, чтобы

(12.7)

Положим в формуле (12.6). Тогда будем иметь:

следовательно,

Далее, берем от левой и правой частей формулы (12.6) конечные разности первого порядка

Отсюда, полагая и учитывая соотношения (12.7), будем иметь:

откуда

Аналогично составив вторую разность от , получим:

Полагая , находим:

и, таким образом,

Характер закономерности коэффициентов достаточно ясен. Применяя метод математической индукции, можно доказать, что

(12.8)

Подставляя эти значения в формулу (12.6), будем иметь окончательно:

(12.9)

Формула (12.9) носит название второй интерполяционной формулы Ньютона.

Введем более удобную запись формулы (12.9). Пусть

тогда

и т.д.

Подставив эти значения в формулу (12.9), получим:

(12.10)

Это и есть обычный вид второй интерполяционной формулы Ньютона. Для приближенного вычисления значений функции y полагают:

Интерполяционные формулы Гаусса.

Пусть имеется 2n+1 равноотстоящих узлов интерполирования

где

и для функции y=f(x) известны ее значения в этих узлах

Требуется построить полином P(x) степени не выше 2n такой, что

при

Из последнего условия вытекает, что

(12.11)

для всех соответствующих значений i и k.

Будем искать этот полином в виде

Вводя обобщенные степени, получим:

(12.12)

Применяя для вычисления коэффициентов a_i (i = 0, 1,…2n) тот же способ, что и при выводе интерполяционных формул Ньютона, и учитывая формулу (12.11), последовательно находим:

Далее, введя переменную и сделав соответствующую замену в формуле (12.12), получим первую интерполяционную формулу Гаусса

(12.13)

или, короче,

(12.14)

где и

Первая интерполяционная формула Гаусса содержит центральные разности

Аналогично можно получить вторую интерполяционную формулу Гаусса, содержащую центральные разности

Вторая интерполяционная формула Гаусса имеет вид

(12.15)

или, в сокращенных обозначениях,

(12.16)

где

Интерполяционная формула Лагранжа

Выведенные нами в предыдущих параграфах интерполяционные формулы пригодны лишь в' случае равноотстоящих узлов интерполирования. Для произвольно заданных узлов интерполирования пользуются более общей формулой, так называемой интерполяционной формулой Лагранжа.

Рис.9

Пусть на отрезке [а,b] даны п+1 различных значений аргумента: х₀, х₁, х₂,…,х_п и известны для функции у = f(х) соответствующие значения:

Требуется построить полином L_n(x) степени не выше п, имеющий в заданных узлах x₀, x₁ ,…, х_п те же значения, что и функция f (х), т. е. такой, что

Решим сначала частную задачу: построим полином р_i(х) такой, что

(12.17)

где - символ Кронекера.

Так как искомый полином обращается в нуль в точках x₀, x₁,…,x_i-1, x_i+1,…,x_n, то он имеет вид

(12.18)

где - постоянный коэффициент. Полагая в формуле (12.18) и учитывая, что получим:

Отсюда

Подставив это значение в формулу (12.18), будем иметь:

. (12.19)

Теперь перейдем к решению общей задачи: к отысканию полинома L_n(x), удовлетворяющего указанным выше условиям L_n(х_i) = у_i Этот полином имеет следующий вид:

(12.20)

В самом деле, во-первых, очевидно, степень построенного полинома L_n(x) не выше п и, во-вторых, в силу условия (12.17) имеем:

Подставив в формулу (12.20) значение из (12.19), получим:

(12.21)

Это и есть интерполяционная формула Лагранжа.