Правило извлечения кубического корня

Чтобы извлечь кубический корень, берем «на глаз» первое при­ближение и поступаем так.

1) Деление на первое приближение выполняется дважды: сначала делимым служит подкоренное число, а затем —число, полученное в результате первого деления. Если частное (полученное после второго деления) разнится от первого приближения (т. е. от делителя) на величину, не превышающую допустимой погрешности, то корень извлечен.

2) В противном случае находим среднее арифметическое трех чисел, а именно частного (от двух делений) и дважды взятого дели­теля). Получаем второе приближение; у него (при сколько-нибудь умелом выборе первого приближения) три цифры будут верными, а четвертая в худшем случае потребует исправления на 1.

3) Второе приближение можно подвергнута такому же испытанию как первое; но этот контроль утомителен.

Пример. . Искомый корень заключен между 9 и 10. За первое приближение возьмем 9,2 (так как подкоренное число примерно в 4 раза ближе к 9³, чем к 10³).

1) Надо разделить на 9,2 сначала подкоренное число 785,0, а затем частное 785,0:9,2. Вместо этого можно разделить 785 на 9,2² = 84,64 Получаем: 785,0 : 9,2 : 9,2 = 785,0 : 84,64  9,275;

Как видим, первое приближение имеет две верные цифры. Чтобы наилучшим образом найти, второе приближение, учтем, что подкоренное число 785,0 оказалось произведением трех неравных сомножите­лей: 785,0 = 9.2  9,2  9,275, а нам надо представить его в виде произ­ведения трех равных сомножителей. Естественно предположить, что каждый из этих равных сомножителей должен примерно равняться среднему арифметическому сомножителей 9,2; 9,2 и 9,275.

2) Итак, в качестве второго приближения берем среднее арифме­тическое (9,275 + 9,200 + 9,200): 3 = 9,225.

3) Для контроля можно разделить подкоренное число 785;0 на второе приближение 9,225 и результат еще раз разделить на 9,225 (или разделить подкоренное число на 9,225²  85,09). Получим 9,225 (если при вычислениях не сохранять запасную цифру, получится 9,224).

При подыскании первого приближения бывает полезно перенести запятую в подкоренном числе вправо (или влево) на 3, 6, 9 и т. д. цифр. В окончательном результате переносим запятую в обратном направлении на 1, 2, 3 и т. д. соответственно цифры. Переносить запятую можно только на такое число цифр, которое делится на 3.

Приведите пример с расчетом.