Поведение в точках разрыва
Заявляя, что с увеличением числа гармоник ряда Фурье возможно получить функцию, сколь угодно близкую к исходной функции, мы должны обратить внимание на явление, отрицающее этот тезис. Речь пойдет о колебаниях вблизи точек разрыва.
На рис. 15 представлен результат приближения функции
Как видно из рисунка, с повышением числа
гармоник ряда Фурье амплитуда колебаний
вблизи точек разрыва не уменьшается,
хотя период колебаний становится меньше.
Это явление называется явлением Гиббса.
Величина амплитуды колебаний
даже с повышением n не
становится меньше некоторого значения.
В случае приведенного примера
.
Рис. 14. Разложение в ряд Фурье гладкой функции
Рис. 15. Явление Гиббса
Если в качестве параметра приближения функции взять ранее определенное расстояние между функциями (что является одним из видов квадратичной погрешности), то с увеличением n значение этого расстояния сходится в 0, даже если функции содержат точки разрыва. Однако если в качестве параметра измерить самую большую разность между и , то, к сожалению, она не обязательно сходится в 0. В этом заключается суть явления Гиббса.
Таким образом, видно, что анализ Фурье позволяет определить важные параметры сигнала в частности спектр сигнала. Сравнивая спектр сигнала с амплитудно-частотными характеристиками различных каналов связи, можно предсказать насколько сильно произойдет его искажение. Однако можно транслировать данные, уменьшая влияние физической среды на передаваемый сигнал. То есть, можно передавать значительную часть спектра в той области амплитудно-частотной характеристики канала, в которой гармонические составляющие спектра сигнала передаются без существенных искажений. Для этих целей используют линейное кодирование. Системы линейного кодирования делятся на потенциальные и импульсные. В потенциальных бит кодируется постоянным значением физической величины (например, напряжением) во время отведенного битового интервала. В импульсных кодах бит кодируется изменением значения физического сигнала.
Требованиями, предъявляемыми к методам цифрового кодирования являются:
минимизация ширины спектра сигнала при возможно большей битовой скорости передачи,
обеспечение синхронизации между передатчиком и приемником,
возможность обнаружения ошибок,
низкая стоимость реализации.
Более узкий спектр сигнала позволяет на одной и той же линии добиться более высокой скорости передачи данных. Спектр сигнала в общем случае зависит как от способа кодирования, так и от тактовой частоты передатчика.
На рис. 16 приведены спектры сигналов разных кодов, полученные при передаче произвольных данных, в которых различные сочетания нулей и единиц в исходном коде равновероятны. При построении графиков спектр усреднялся по всем возможным наборам исходных последовательностей. Естественно, что результирующие коды могут иметь и другое распределение нулей и единиц. Из рисунка видно, что потенциальный код NRZ обладает хорошим спектром с одним недостатком — у него имеется постоянная составляющая. Коды, полученные из потенциального кода путем логического кодирования, обладают более узким спектром, чем манчестерский код, даже при повышенной тактовой частоте (на рисунке спектр кода 4В/5В должен был бы примерно совпадать с кодом B8ZS, но он сдвинут в область более высоких частот, так как его тактовая частота повышена на 1/4 по сравнению с другими кодами).
Рис. 16. Спектр потенциальных и импульсных кодов
Однако при передаче любого сигнала через физическую среду происходит неизбежное искажение этого сигнала. Существует множество факторов, способных исказить или повредить сигнал. Наиболее распространенные из них — помехи или шумы, представляющие собой любой нежелательный сигнал, который смешивается с первоначальным сигналом.
Рассматривая систему передачи информации в комплексе, возникает важный вопрос: насколько эти искажения ограничивают возможную скорость передачи данных или существует ли максимально возможная при определенных условиях скорость, при которой информация может передаваться по конкретному тракту связи, или каналу без существенных искажений. На этот вопрос дал ответ американский ученый Клод Шеннон. В своих трудах он связал основополагающие понятия в теории передачи информации:
Скорость передачи данных. Это скорость в битах в секунду (бит/с), с которой могут передаваться данные.
Ширина полосы. Это ширина полосы передаваемого сигнала, ограничиваемая передатчиком и природой передающей среды (физической среды). Выражается в периодах в секунду, или герцах (Гц).
Шум. Средний уровень шума в канале или тракте связи.
Уровень ошибок. Частота появления ошибок. Ошибкой считается прием 1 при переданном 0 и наоборот.
Практическая сторона теории передачи информации заключается в следующем: средства связи недешевы и, в общем случае, чем шире их полоса, тем дороже они стоят. Более того, все каналы передачи, представляющие практический интерес, имеют ограниченную ширину полосы. Ограничения обусловлены физическими свойствами передающей среды или преднамеренными ограничениями ширины полосы в самом передатчике, сделанными для предотвращения интерференции с другими источниками. Естественно, хотелось бы максимально эффективно использовать имеющуюся полосу. Для передачи цифровых данных это означает, что для определенной полосы желательно получить максимально возможную при существующем уровне ошибок скорость передачи данных. Главным ограничением при достижении такой эффективности являются помехи.