Тема 5: «Элементы комбинаторики. Метод математической индукции»

11. Доказать, что для любого натурального числа n:

1. число 7ⁿ - 1 делится на 6;

2. число n³ + 5n делится на 6;

3. число n³ +11n делится на 6;

4. число 11ⁿ⁺² + 12²ⁿ⁺¹ делится на 133;

5. число n⁷ – n делится на 7;

6. число n³ + 3n² + 5n + 3 делится на 3;

7. число n³ + 5n + 12n² делится на 6;

8. число 5ⁿ⁺³ + 11¹⁺³ⁿ делится на 17;

9. число 11ⁿ⁺² + 12²ⁿ⁺¹ делится на 133;

10. число 4ⁿ + 15n - 1 делится на 9;

11. число 7²ⁿ - 4²ⁿ делится на 33;

12. число 6²ⁿ + 3ⁿ⁺² + 3ⁿ делится на 11;

13. число 6²ⁿ + 19ⁿ - 2ⁿ⁺¹ делится на 17;

14. число 7 • 5²ⁿ + 12 • 6ⁿ делится на 19;

15. число 5²ⁿ⁺¹ + 3ⁿ⁺² • 2^n-1 делится на 19;

16. число 5ⁿ⁺² + 26 • 5ⁿ + 8²ⁿ⁺¹ делится на 59;

17. число 2²ⁿ⁺¹ + 1 делится на 3;

18. число 2²ⁿ - 1 делится на 3;

19. число 7²ⁿ - 1 делится на 48;

20. число n⁴+ 2n³ - n² - 2n делится на 24;

21. число 6^2n-1 +1 делится на 7;

22. число 10ⁿ + 18n - 28 делится на 27;

23. число 9ⁿ⁺¹ - 8n - 9 делится на 16;

12. верно равенство 1 + 2 + 3 + ... + n =

13. верно равенство 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n²;

14. верно равенство (n + 1) • (n + 2) •... • (n + n) = 2ⁿ • 1 • 3 • 5 •... • (2n - 1);

15. в ерно равенство 1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ =

16. верно равенство 1 • 2 + 2 • 3 + 3 • 4 + .. +.(n - 1)n =

12. верно равенство

13. верно равенство 1 • 4 + 2 • 7 + 3 • 10 + .. + n(3n +1) =n(n + 1)²;

12. верно равенство

12. верно равенство

12. Какой коэффициент стоит при данном произведении в заданном разложении?

1. в разложении (а+5)¹⁹ при а¹⁶;

2. в разложении (x+y+2z+3)⁵ при x²yz;

3. в разложении (2+у)³² при у²⁷;

4. в разложении (a-b+3z+c)⁹ при a²bz²с⁴;

5. в разложении (х-2)²⁵ при х¹⁸;

6. в разложении (m-n-7k+1)¹⁵ при m²n¹⁰k¹;

7. в разложении (3-р)¹⁶ при р¹³;

8. в разложении (x-2y+2z-4)¹² при x⁷yz³;

9. в разложении (а+1)⁹ при а⁴;

10. в разложении (x-y-2z-3)¹⁵ при x¹⁰yz²;

11. в разложении (х-1)²⁹ при а²⁷;

12. в разложении (a+3b-2+3с)⁷ при a²b²c;

13. в разложении (1-t)⁵⁷ при t⁵⁴;

14. в разложении (x+y+2z+3)⁵ при x²yz;

15. в разложении (-2-b)¹² при b¹⁰;

16. в разложении (x-2y+3z+k)⁹ при xy⁴zk³;

17. в разложении (f+3)⁴⁸ при f⁴⁷;

18. в разложении (x+y+2z+3)⁵ при x²yz;

19. в разложении (-1+k)⁹⁹ при k⁹⁶;

20. в разложении (n+m-3k-2l+2)¹¹ при n²m²k²l⁵;

21. в разложении (1+5d)⁹ при d⁵;

22. в разложении (x-y+2z+3l-5)⁷ при xyzl²;

23. в разложении (-1+3h)¹² при h¹⁰;

24. в разложении (x+y-3)⁴⁴ при x²²y²⁰;

25. в разложении (2-2b)⁷ при b⁵;

26. в разложении (f-2g-1)⁵⁵ при f²⁵g²⁵;

27. в разложении (-1-2n)¹⁷ при n³;

28. в разложении (x-2y-2z-s-3)⁸ при x²yzs;

29. в разложении (а+2m)¹¹ при а⁴m⁷;

30. в разложении (n-m+2k-10)⁷ при n²m²k;

31. в разложении (-2с+х)³² при с²²х¹⁰;

32. в разложении (x-y-2z)⁵ при xy²z²;