8. Таблицы истинности для сложных суждений.

Сложные суждения образуются из простых суждений с помощью логических связок: конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции и отрицания. Таблицы истинности этих логических связок следующие:

А	B	AΛB	AvB	AůB	А→B	А↔B
И	И	И	И	Л	И	И
И	Л	Л	И	И	Л	Л
Л	И	Л	И	И	И	Л
Л	Л	Л	Л	Л	И	И

 

Буквы А, B - переменные, обозначающие суждения; буква “И” обозначает истину, а “Л” - ложь.

Таблицу истинности для конъюнкции (А Λ B) можно разъяс­нить на следующем примере. Учителю дали короткую характе­ристику, состоящую из двух простых суждений: “Он является хорошим педагогом (А) и учится заочно (B)”. Она будет истинна в том и только в том случае, если суждения A и B оба истинны. Это и отражено в первой строке. Если же A ложно, или В ложно, или и А, и В ложны, то вся конъюнкция обращается в ложь, т. е. учителю была дана ложная характеристика.

Суждение “Увеличение рентабельности достигается или путем повышения производительности труда (А), или путем снижения себестоимости продукции (В)” - пример нестрогой дизъюнкции. Дизъюнкция называется нестрогой, если члены дизъюнкции не исключают друг друга. Высказывание или формула с такой дизъ­юнкцией истинна в том случае, когда истинно хотя бы одно из двух суждений (первые три строки таблицы), и ложна, когда оба суждения ложны.

Строгая дизъюнкция (AůB ) - та, в которой члены дизъюнк­ции исключают друг друга. Ее можно разъяснить на примере: “Я поеду на Юг на поезде (А) или полечу туда на самолете (В)”. Я не могу одновременно ехать на поезде и лететь на самолете. Строгая дизъюнкция истинна тогда, когда лишь одно из двух про­стых суждений истинно, и только одно.

Таблицу для импликации (А→B) можно разъяснить на таком примере: “Если по проводнику пропустить электрический ток (А), то проводник нагреется (В). Импликация истинна всегда, кроме одного случая, когда первое суждение истинно, а второе - ложно. Действительно, не может быть, чтобы по проводнику пропусти­ли электрический ток, т. е. суждение (А) было истинным, а про­водник не нагрелся, т. е. чтобы суждение (В) было ложным.

В таблице эквиваленция (А↔B) характеризуется так: А↔B истинно в тех и только в тех случаях, когда и А, и B либо оба истинны, либо оба ложны.

Разъяснение выполнения заданий по теме «суждение как форма мышления»

Задача 1: Укажите предложения, выражающие суждения: а) И какой же русский не любит быстрой езды?; б) Какая добрая пьеса!; в) Дважды два - четыре; г) Как пройти к первому корпусу СТИ МИСиС?; д) Вперед, за Родину!

Чтобы выполнить это упражнение, необходимо проверить, может ли предложение быть истинным или ложным – только в этом случае оно способно к выражению суждения.

а) Перед нами риторический вопрос (он не требует ответа и легко преобразуется в повествовательное предложение: «Всякий русский любит быструю езду») - очевидно, что это суждение ложное, поэтому данное предложение суждение выражает.

б) Пьеса может быть доброй, а может и не быть таковой – следовательно, это предложение является истинным или ложным и суждение выражает.

в) Дважды два-четыре – истинное предложение, суждение выражает.

г) Данный вопрос не может быть истинным или ложным (истинным или ложным будет ответ на него) – следовательно, это предложение суждение не выражает.

д) Это призыв, побуждение, в котором ничего не утверждается и не отрицается – следовательно, к нему не приложимы параметры «истина», «ложь» и суждение это предложение не выражает.

Задача 2: Определите полную логическую форму предложений (т.е. найдите кванторное слово, связку, субъект и предикат, делающие их истинными. Например, дано суждение: Птицы летают. Получаем: Некоторый птицы являются летающими). Дайте классификацию данных суждений по качеству и количеству, обозначив виды соответствующими латинскими буквами: 1. Коровы дают молоко. 2. Аисты живут под водой.

Решение: Коровы дают молоко → Некоторые (кванторное слово) коровы (субъект) являются (связка) дающими молоко (предикат). Это частно- (потому что «некоторые») утвердительное (потому что «являются») суждение, обозначается I.

Аисты живут под водой → Все (кванторное слово) аисты (субъект) не являются (связка) живущими под водой (предикат). Это обще- (потому что «все») отрицательное (потому что «не являются») суждение, обозначается E.

Задача 3: Среди перечисленных ниже суждений выделите ат­рибутивные, экзистенциальные и суждения с отношения­ми: 1. Нет в жизни счастья. 2. Губкин меньше Москвы 3. Старый Оскол – город металлургов.

Решение: 1. В первом суждении идет речь о наличии или отсутствии чего либо (нет счастья) – это экзистенциальное (от лат. существование) суждение. 2. Во втором суждении сравниваются объекты и используются слова наподобие страше-младше, хуже-лучше, выше-ниже – это реляционное суждение (от лат. отношение). 3. В третьем суждении указан признак (свойство) Старого Оскола – это атрибутивное суждение (от лат. свойство).

Задача 4: С помощью кругов Эйлера определите распределенность терминов в следующих суждениях: 1. Все люди смертны. 2. Все рыбы не есть кенгуру.

Решение: напомню, что термины суждения – это его субъект и предикат, а распределенный термин означает, что он мыслится в суждении в полном объеме (это выражается в круговых схемах в виде целого круга).

1. Все люди смертны: люди – субъект (S), смертны – предикат (P). Изобразим отношение между ними:

Очевидно, что все люди (S) – смертные, но не все смертные (P) – люди. В полном объеме мыслятся все люди (S⁺), а вот смертные мыслятся как «не все» (Р^-). Мы видим целым круг субъекта, поэтому только он распределен. Ответ: S⁺ P^-

Все рыбы не есть кенгуру: рыбы – субъект (S), кенгуру – предикат (P). Изобразим отношение между ними:

Очевидно, что все рыбы не являются кенгуру, и все кенгуру не есть рыбы. То есть мы мыслим и субъект и предикат в полном объеме и видим два целых круга. Ответ: S⁺ P⁺

Не забывайте ключевое для данного задания общее правило: субъект всегда распределен в общих суждениях, а предикат всегда распределен в отрицательных суждениях.

Задача 5: Противопоставьте субъекту и предикату суждения: Все рыбы умеют плавать. Некоторые политики лгут. Ни одна корова не умеет летать. Некоторые фонтаны не работают.

Решение: противопоставить субъекту – это значит вначале суждение обратить, а затем результат обращения превратить. Противопоставить предикату – вначале суждение превращается, а затем результат превращения обращается.

Обратите внимание: прежде чем приступить к выполнению этого задания, необходимо извлечь суждения из данных предложений, т.е. привести предложения к виду: кванторное слово – субъект – связка – предикат. Например: Все рыбы умеют плавать → Все рыбы являются умеющими плавать. Некоторые политики лгут → Некоторые политики являются лгущими и т.п.