Тема 2.2 Непрерывные случайные величины

Понятие непрерывной случайной величины (НСВ).Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины, ее свойства. Функция распределения НСВ. Числовые характеристики НСВ: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, их свойства, нахождение.

Литература: [2]; [3]; [4]; [5]; [6]; [7]; [8]; [9]; [10]; [11]; [12]; [13]; [14]; [15]

Вопросы для самоконтроля

1. Непрерывная случайная величина

2. Плотность распределения вероятностей НСВ, ее свойства

3 Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение НСВ, их свойства

Краткие теоретические сведения

Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения F(х) непрерывна для всех .

Вероятность отдельного значения для непрерывной случайной величины равна нулю: где с – любое действительное число. Поэтому

Производная функции распределения называется плотностью вероятности непрерывной случайной величины:

(28)

Наряду с обозначением f(x) для плотности вероятности используется также обозначение p(х).

Плотность вероятности обладает следующими свойствами:

1) f(x) ≥ 0; 2) ; 3) .

Для непрерывной случайной величины математическое ожидание и дисперсия вычисляется по формулам:

, (29)

(30)

Тема 2.3 Законы распределения дискретных случайных

величин

Биномиальное распределение, его параметры и числовые характеристики.

Распределение геометрическое, распределение Пуассона, их параметры и числовые характеристики.

Литература: [4]; [5]; [6]; [7]; [8]; [9]; [10]; [12]; [13]

Вопросы для самоконтроля

1 Биномиальное распределение ДСВ, его математическое ожидание и дисперсия

2 Распределение Пуассона ДСВ, его математическое ожидание и дисперсия

3 Геометрическое распределение ДСВ, его математическое ожидание и дисперсия

Краткие теоретические сведения

Дискретная случайная величина Х имеет биномиальное распределение (или распределена по биномиальному закону), если она принимает значения 0, 1, 2,…, n, вероятности которых находят по формуле Бернулли:

, (31)

где 0 < p < 1, q = 1 – p, m = 1, 2,..., n.

(32)

Дискретная случайная величина Х имеет распределение Пуассона, если она принимает счетное число значений: 0, 1, 2,…, m,..., вероятности которых находят по формуле Пуассона:

, (33)

где m = 0, 1, 2,…;

(34)

Дискретная случайная величина имеет геометрическое распределение, если она принимает счетное число значений: 0, 1, 2, …, m, … с соответствующими вероятностями:

, (35)

где m = 1, 2, …, 0 < p < 1, q = 1 – p.

, . (36)

Тема 2.4 Законы распределения непрерывных случайных

величин

Равномерное распределение НСВ, его числовые характеристики. Показательное распределение НСВ, его числовые характеристики. Нормальное распределение НСВ, его числовые характеристики. Правило «трех сигм». Функция Лапласа.

Литература: [4]; [5]; [6]; [7]; [8]; [9]; [10]; [12]; [13]

Вопросы для самоконтроля

1 Равномерное распределение НСВ, его функция распределения и числовые характеристики

2 Показательное распределение НСВ, его функция распределения и числовые характеристики

3 Нормальное распределение НСВ, его функция распределения и числовые характеристики

4 Функция Лапласа и ее свойства

Краткие теоретические сведения

Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение, если на отрезке [а; b], которому принадлежат ее всевозможные значения, плотность вероятности постоянна, а вне его равна нулю:

f(x) = (37)

Функция распределения F(х) для равномерно распределенной случайной величины Х имеет вид:

F(x) = (38)

(39)

Вероятность попадания значений равномерно распределенной случайной величины в интервал (α; β), принадлежащий [а; b], определяется формулой:

(40)

Непрерывная случайная величина Х имеет показательное (или экспоненциальное) распределение, если ее плотность вероятности имеет вид:

f(x) = (41)

где - параметр данного распределения.

Функция распределения случайной величины Х, распределенной по показательному закону, находится по формуле:

F(x) = (42)

(43)

Непрерывная случайная величина Х имеет нормальное распределение (или распределена по закону Гаусса), если ее возможные значения находятся в промежутке , а плотность вероятности имеет вид:

. (44)

Параметры и представляют собой соответственно математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение случайной величины Х.

, (45)

Вероятность попадания значений нормально распределенной случайной величины Х в интервал (α; β) определяется формулой:

, (46)

где и называется функцией Лапласа.

Функция Лапласа обладает следующими свойствами:

1. – нечетная функция; 2) = 0; 3) (+∞) = 0,5.

Значения функции Лапласа находят по таблице в приложениях.

Функция распределения случайной величины Х, распределенной по нормальному закону:

. (47)