Тема 1.4 Повторение испытаний

Независимые испытания.

Формула Бернулли. Теорема Муавра-Лапласа. Интегральная теорема Лапласа. Формула Пуассона. Условия их применения.

Литература: [2]; [4]; [5]; [6]; [7]; [8]; [9]; [12]; [13]; [14]

Вопросы для самоконтроля

1. Независимые испытания относительно события А. Формула Бернулли

2. Формула Пуассона, условия ее применения

3. Теорема Муавра-Лапласа, условия ее применения

4. Интегральная теорема Лапласа, условия ее применения

Краткие теоретические сведения

Испытания называют независимыми относительно события А, если вероятность появления события А в каждом из проводимых испытаний не зависит от результатов предыдущих испытаний. Пусть вероятность появления события А в каждом единичном испытании равна р, а вероятность того, что это событие не произойдет, равна 1 – р = q. Тогда вероятность появления события А ровно m раз при проведении n испытаний определяется по формуле Бернулли:

, (20)

Если число испытаний n достаточно велико, а вероятность р достаточно мала (р < 0,1; npq < 10), то вероятность появления события А при многократном повторении испытаний можно приближенно вычислить по формуле Пуассона:

(21)

Теорема Муавра-Лапласа. Если число испытаний n достаточно велико, а вероятности p и q не очень близки к нулю (n > 100, npq > 20), то вероятность можно приближенно найти по локальной формуле Муавра-Лапласа:

(22)

где – функция Гаусса.

Таблица значений функции Гаусса приводится в приложениях.

Интегральная теорема Лапласа. В условиях локальной формулы Муавра-Лапласа вероятность того, что число успехов m заключено между и , можно приближенно найти по интегральной формуле Лапласа:

(23)

где , , – функция Лапласа.

Таблица значений функции Лапласа приводится в приложениях.

Раздел 2 Случайные величины

Тема 2.1 Дискретные случайные величины

Случайные величины, их виды. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины (ДСВ). Функция распределения случайной величины и ее свойства. Функция распределения ДСВ. Числовые характеристики ДСВ: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение. Свойства числовых характеристик дискретных случайных величин.

Литература: [2]; [3]; [4]; [5]; [6]; [7]; [8]; [9]; [10]; [11]; [12]; [13]; [14]; [15]

Вопросы для самоконтроля

1 Случайная величина и закон ее распределения

2 Функция распределения случайной величины и ее свойства

3 Дискретная случайная величина

4 Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины, их свойства

Краткие теоретические сведения

Случайной величиной называют величину, которая в результате

испытания может принимать с определенной вероятностью разные значения.

Законом распределения случайной величины называется любое соответствие между значениями случайной величины и их вероятностями .

Пусть Х – некоторая случайная величина. Тогда функцию, ставящую в соответствие любому значению вероятность того, что значение случайной величины Х меньше x:

(24)

называют функцией распределения случайной величины Х. Функция распределения обладает следующими свойствами:

1. 0 ≤ F(x) ≤ 1 для всех ;

2. F(х) – неубывающая функция;

3. 

4. .

Случайную величину называют дискретной, если множество ее значений конечное либо счетное. Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан таблицей, называемой рядом распределения:

Х			…
Р			…

Важнейшими характеристиками случайной величины являются ее математическое ожидание М(Х), дисперсия D(X) и среднее квадратическое отклонение . Для дискретной случайной величины ее числовые характеристики вычисляются по следующим формулам:

(25)

, (26)

(27)