§4. Числовые значения тригонометрических функций некоторых углов

§5. Период функции

Число T называют периодом функции f, если для любого t, при котором эта функция определена, выполняются равенства:

Функцию f называют периодической, если она имеет отличный от нуля период.

Если функция f постоянна, то любое число является её периодом. Если функция f отлична от постоянной, непрерывна и периодична, то среди её положительных периодов есть наименьший.

Наименьший положительный период функции называется основным периодом этой функции.

Если T – основной период функции f, то все остальные периоды той же функции кратны T.

Свойство периодичности тригонометрических функций можно выразить свойствами:

;

;

§6. Формулы приведения

Формулами приведения называются соотношения, с помощью которых значения тригонометрических функций аргументов , , , , выражаются через значения , , ,

Все формулы приведения можно свести в следующую таблицу:

Для облегчения запоминания приведённых формул необходимо использовать следующие правила:

1. при переходе от функций углов , к функциям углов название функции изменяют: синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот;

2. при переходе от функций углов , к функциям углов название функции не изменяют;

3. считая острым углом, перед функцией угла ставят такой знак, какой имеет приводимая функция углов , , , .

§7. Основные тригонометрические формулы

I. Основные тригонометрические тождества:

II. Формулы (теоремы) сложения аргументов:

III. Формулы двойного аргумента:

IV. Формулы понижения степени:

V. Формулы половинного аргумента (знак – по функции в левой части):

VII. Формулы сумм:

VIII. Формулы произведений:

IX. Универсальная тригонометрическая подстановка:

X. Некоторые дополнительные формулы:

§8. Графики тригонометрических функций Функция синус

Область определения функции — множество R всех действительных чисел.

Множество значений функции — отрезок [-1; 1], т.е. синус функция — ограниченная.

Функция нечетная: sin(−x)=−sin x для всех х∈ R.  График функции симметричен относительно начала координат.

Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2π:

sin(x+2π·k) = sin x, где k ∈ Z для всех х ∈ R.

sin x = 0 при x = π·k, k ∈ Z.

sin x > 0 (положительная) для всех x ∈ (2π·k, π+2π·k), k ∈ Z.

sin x < 0 (отрицательная) для всех x ∈ (π+2π·k, 2π+2π·k), k ∈ Z.

Функция возрастает от −1 до 1 на промежутках:

Функция убывает от −1 до 1 на промежутках:

Наибольшее значение функции sin x = 1 в точках:

Наименьшее значение функции sin x = −1 в точках:

Функция косинус

Область определения функции — множество R всех действительных чисел.

Множество значений функции — отрезок [-1; 1], т.е. косинус функция — ограниченная.

Функция четная: cos(−x)=cos x для всех х ∈ R.  График функции симметричен относительно оси OY.

Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2π:

cos(x+2π·k) = cos x, где k ∈ Z для всех х ∈ R.

cos x = 0 при
cos x > 0 для всех
cos x < 0 для всех
Функция возрастает от −1 до 1 на промежутках:
Функция убывает от −1 до 1 на промежутках:
Наибольшее значение функции sin x = 1 в точках:
Наименьшее значение функции sin x = −1 в точках: