Апроксимація періодичного сигналу рядом Фур’є.

Часто на практиці отримані дані носять періодичний характер, то їх немає можливості описувати за допомогою прямих квадратичних , або кубічних парабол , а в цьому випадку для опису використовується ряди Фур’є.

Для опису з допомогою ряду Фур’є необхідно щоб загальний час вимірювання точно відповідав . Для опису такого ми мусимо використовувати ряд Фур’є

1. Для обчислення необхідно ,щоб

2. Для обчислення необхідно

3. Число вибірок повинно бути

- частота дискретизації

- Теорема про вибірки (Котєльнікова) – за якою число вибірок повинно бути в 2 рази більше, ніж максимальна частота вхідного сигналу.

Обчислення коефіцієнтів здійснюється шляхом обчислення наближення за методом наближення Гауса.

Структура обчислень в точках часу обчислюється значення вибірок через опорні точки проводиться ряд Фур’є. Його коефіцієнти визначаються, як сума квадратів різниць

…

(1)

N- число вибірок за період

(A)

Аналогічно обчислюється коефіцієнт

(B)

Аналогічно обчислюється коефіцієнт

(C)

Підставляємо попередньо обчислені коефіцієнти в рівняння і це буде кінцевий запис. Через ортогональність функцій та коефіцієнти можна обчислити незалежно один від одного. Таким чином непотрібно розв’язувати систему рівнянь , як це проводиться при знаходженні коефіцієнтів поліному. З наведених обчислень можна зробити такі висновки, обчислені коефіцієнти дають можливість визначити ряд Фур’є.

1. Такий опис дає можливість обчислювати в кожній точці в кожен момент часу .

2. Якщо подати амплітуди в частотну область можна обчислити спектр сигналу .

3. Для постановки завдання важливе значення має знання (період основної гармоніки) Звідси час вимірювання може бути рівним , або кратним . Тільки за цієї умови коефіцієнти можуть бути обчислені за виразами (В) та (С).

Апроксимація експоненційними функціями.

У багатьох випадках коли є задані дані доводиться здійснювати апроксимацію експоненційними функціями . Основна проблема полягає в тому , що функція є нелінійною відносно А і В, для того щоб здійснити наближення

В такому випадку потрібно розв’язувати нелінійну систему рівнянь що є складним тому потрібно трансформувати координати і лінеризувати наведені вище рівняння. З огляду на це здійснюють наступний підхід – логарифмування координат

Для визначення коефіцієнтів А і В можна використовувати рівняння які були отримані нами при апроксимації кубічним поліномом , при розгляді прикладу коли апроксимація здійснювалася прямою лінією

Підставляємо А і В в рівняння і отримуємо кінцевий запис.

Висновок : З наведеного матеріалу можна зробити наступні висновки :

1. Застосування того чи іншого типу апроксимації залежить від похибки наближення.

2. Залежить від складності апроксимуючої функції а значить і збільшення часу на обчислення.

3. Обчислення згладжування дозволяє знайти похибку вимірювання. Коли в окремих вимірюваннях похибки є непомірно великими, то в цьому випадку не є винною згладжуючи функція, а виміряна величина. В такому разі рекомендується повторити вимірювання.