47. Уравнение Максвелла.

Введение Максвеллом понятия тока смещения привело его к завершению созданной им макроскопической теории электромагнитного поля, позволившей с единой точки зрения не только объяснить электрические и магнитные явления, но и предсказать новые, существование которых было впоследствии подтверждено.

В основе теории Максвелла лежат четыре уравнения:

1. Электрическое поле ( может быть как потенциальным (Eq),так и вихревым (Ё_в), поэтому напряженность суммарного поля .Так как циркуляция вектора Еq равна нулю, а циркуляция вектора Е_в определяется выражением то циркуляция вектора напряженности суммарного поля

Это уравнение покалывает, что источниками электрического поля могут быть не только электрические заряды, но и изменяющиеся во времени магнитные поля.

2. Обобщенная теорема о циркуляции вектора Н

Это уравнение показывает, что магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями.

3. Теорема Гаусса для поля D

Если заряд распределен внутри замкнутой поверхности непрерывно с объемной плотностью ρ, то эта формула запишется в виде

4. Теорема Гаусса для поля Ё

Величины, входящие в уравнения Максвелла, не являются независимыми и между ними существует следующая связь (изотропные несегнетоэлектрические и неферромагнитные среды):

где εo и μ₀— соответственно электрическая и магнитная постоянные; ε и μ — соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости; γ — удельная проводимость вещества.

Из уравнений Максвелла вытекает, что источниками электрического поля могут быть либо электрические заряды, либо изменяющиеся во времени магнитные поля, а магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися электрическими зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями. Уравнения Максвелла не симметричны относительно электрического и магнитного полей. Это связано с тем, что в природе существу ют электрические заряды, но отсутствуют магнитные.

Для стационарных полей (E = const и В = const) уравнения Максвелла примут вид

Воспользовавшись известными из векторного анализа теоремами Стокса и Гаусса

можно представить полную систему уравнений Максвелла в дифференциальной форме (характеризующих поле в каждой точке пространства):

В дальнейшем было доказано, что скорость распространения свободного электромагнитного поля (не связанного с зарядами и токами) в вакууме равна скорости света с = 3 • 10" м/с. Этот вывод и теоретическое исследование свойств электромагнитных волн привели Максвелла к созданию электромагнитной теории света, согласно которой свет представляет собой также электромагнитные волны. Электромагнитные волны на опыте были получены немецким физиком Г. Герцем (1857 — 1894), доказавшим, что законы их возбуждения и распространения полностью описываются уравнениями Максвелла. Таким образом, теория Максвелла была экспериментально подтверждена.

48. Электромагнитная волна. Волновое уравнение.

Одним из важнейших следствий уравнений Мак­свелла является существова­ние электромагнитных волн. Можно по­казать, что для однородной и изотропной среды вдали от зарядов и токов, создаю­щих электромагнитное поле, из уравнений Максвелла следует, что векторы напряженностей Е и Н переменного электро­магнитного поля удовлетворяют волново­му уравнению типа (154.9):

— оператор Лапласа, v — фазовая ско­рость.

Всякая функция, удовлетворяющая уравнениям (162.1) и (162.2), описывает некоторую волну. Следовательно, электро­магнитные поля действительно могут су­ществовать в виде электромагнитных волн. Фазовая скорость электромагнитных волн определяется выражением

где — соответственно электрическая и магнитная постоянные, ε и μ — соответственно электрическая и магнитная проницаемости среды.

В вакууме (при ε =1 и μ =1) скорость распространения электромагнитных волн совпадает со скоростью с. Так как εμ> 1, то скорость распространения электро­магнитных волн в веществе всегда меньше, чем в вакууме.

При вычислении скорости распростра­нения электромагнитного поля по формуле (162.3) получается результат, достаточно хорошо совпадающий с эксперименталь­ными данными, если учитывать зависи­мость ε и μ, от частоты. Совпадение же размерного коэффициента в (162.3) со скоростью распространения света в вакуу­ме указывает на глубокую связь между электромагнитными и оптическими явле­ниями, позволившую Максвеллу создать электромагнитную теорию света, согласно которой свет представляет собой электро­магнитные волны.

Следствием теории Максвелла являет­ся поперечность электромагнитных волн: векторы Е и Н напряженностей электриче­ского и магнитного полей волны взаимно перпендикулярны (на рис. 227 показана моментальная «фотография» плоской электромагнитной волны) и лежат в плос­кости, перпендикулярной вектору v скоро­сти распространения волны, причем векто­ры Е, Н и v образуют правовинтовую систему. Из уравнений Максвелла следует также, что в электромагнитной волне век­торы Е и Н всегда колеблются в одина­ковых фазах (см. рис. 227), причем мгно­венные значения £ и Я в любой точке связаны соотношением

Следовательно, E и H одновременно достигают максимума, одновременно об­ращаются в нуль и т. д.

От волновых уравнений (162.1) и (162.2) можно перейти к уравнениям

где соответственно индексы у и z при Е н Н подчеркивают лишь то, что векторы Е и Н направлены вдоль взаимно перпен­дикулярных осей у и z.

Уравнениям (162.5) и (162.6) удов­летворяют, в частности, плоские монохро­матические электромагнитные волны (электромагнитные волны одной строго определенной частоты), описываемые уравнениями

где E₀ и Н₀ — соответственно амплитуды напряженностей электрического и магнит­ного полей волны, w — круговая частота волны, k=w/v— волновое число, φ— начальные фазы колебаний в точках с координатой х=0. В уравнениях (162.7) и (162.8) φ одинаково, так как колебания электрического и магнитного векторов в электромагнитной волне происходят с одинаковой фазой.