Решение парных матричных игр с нулевой суммой. Принцип минимакса.

Используя платежную матрицу, определим наилучшие стратегии игроков.

В теории игр предполагается, что противники, участвующие в игре, одинаково разумны, и каждый из них делает все возможное для достижения своей цели.

Проанализируем стратегии игрока I. Первый игрок, выбирая стратегию , должен рассчитывать, что второй ответит на нее той из своих стратегий , для которой выигрыш игрока I будет минимальным. Найдем минимальное число в каждой строке матрицы и, обозначив его , запишем в добавочный столбец платежной матрицы (см. табл. 2)

Зная числа (свои выигрыши при применении всех стратегий и разумных ответах игрока II), первый игрок должен выбрать такую стратегию, для которой максимально. Обозначив это максимальное значение как , (т.е. ) и используя (1), получим:

Таблица 13.2

I II	1	2	. . .
1			. . .
2			. . .
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
			. . .
			. . .

Величина представляет собой гарантированный выигрыш, который может обеспечить себе первый игрок и называется нижней ценой игры (максимином). Стратегия, обеспечивающая получение нижней цены игры , называется максиминной стратегией. Если первый игрок будет придерживаться этой перестраховочной стратегии, то ему гарантирован выигрыш, не меньший при любом поведении второго игрока.

В свою очередь, второй игрок стремится уменьшить свой проигрыш или, - что то же самое, - выигрыш первого игрока обратить в минимум. Поэтому для выбора своей наилучшей стратегии он должен найти максимальное значение выигрыша первого игрока в каждом из столбцов и среди этих значений выбрать наименьшее. Обозначим через максимальный элемент в каждом столбце и запишем эти элементы в дополнительной строке табл. 2. Наименьшее значение среди обозначим через ; эта величина представляет собой верхнюю цену игры (минимакс), которая определяется по формуле:

Стратегия игрока II, обеспечивающая «выигрыш» , является его минимаксной стратегией. Выбор минимаксной стратегии игроком II гарантирует ему проигрыш не больше .

В теории игр доказывается, что для нижней и верхней цены игры всегда справедливо неравенство:

Игры, для которых нижняя цена равна верхней, т. е. , называются играми с седловой точкой.

Общее значение нижней и верхней цены игры в играх с седловой точкой называется чистой ценой игры , а соответствующие стратегии - оптимальными чистыми стратегиями. Эти стратегии определяют положение равновесия, так как каждому из игроков невыгодно отходить от своей оптимальной стратегии. Если игра имеет седловую точку, то говорят, что она решается в чистых стратегиях.

Пример. Компании A и B продают два вида лекарств. Компания A рекламирует продукцию на радио ( ), телевидении ( ) и в газетах ( ). Компания B, в дополнение к использованию радио ( ), телевидения ( ) и газет ( ), рассылает также по почте рекламные проспекты ( ). В зависимости от качества и интенсивности рекламной компании, каждая из них может привлечь на свою сторону часть клиентов конкурента. В Табл. 3 приведен процент клиентов, привлеченных или потерянных компанией A:

Таблица 13.3.

					(минимумы строк)
	8	-2	9	-3	- Максимин 3
	6	5	6	8	5
	-2	4	-9	5	-9
(максимумы столбцов)	8	5	9	8

Минимакс

Если компания A выбирает стратегию , то, независимо от реакции компании B, наихудшим для нее результатом является потеря 3% рынка в пользу конкурента. Аналогично при выборе стратегии наихудшим исходом для компании A является увеличение рынка на 5% за счет компании B. Наконец, наихудшим исходом при выборе стратегии является потеря компанией A 9 % в пользу компании B. Чтобы достичь наилучшего результата из наихудших, компания A должна выбрать стратегию .

Рассмотрим теперь стратегии компании B. Так как элементы матрицы являются платежами компании A, то наилучшей для компании B является стратегия .

Оптимальным решением игры является выбор стратегий и , т.е. обеим компаниям следует проводить рекламу на телевидении. При этом рынок компании A увеличится на 5 %. Так как в данном случае максимин и минимакс совпадают (5 %), то игра является игрой с седловой точкой, ее цена = 5%, и компании используют стратегии, соответствующие седловой точке.

Решение, соответствующее седловой точке, гарантирует, что ни одной компании нет смысла пытаться выбрать другую стратегию. Действительно, если компания B перейдет к любой другой стратегии ( ), то компания A может сохранить свой выбор стратегии , что приведет к большей потери рынка компанией B (6 или 8 процентов). По тем же причинам компании A нет смысла использовать другую стратегию – если она использует, например, стратегию , то компания B может использовать свою стратегию и увеличить свой рынок на 9 %.