18.2. Простейшие методы решения стохастических задач: мм-постановка, mp-постановка (задача с вероятностными ограничениями), pp-постановка

1. ММ- формулировка задачи СП

При этой постановке задачи СП требуется оптимизировать целевую функцию

где в качестве коэффициентов используются математические ожидания параметров . При этом предполагается, что известен вероятностный закон распределения параметров , либо, по - крайней мере, их средние ожидаемые значения (математические ожидания). Ограничения задачи имеют вид:

где - математические ожидания соответствующих случайных величин , которые могут быть найдены либо теоретически по известному закону распределения, либо с помощью статистической обработки данных.

Таким образом, в ММ-формулировке задача сводится к обычной задаче линейного программирования путем замены всех параметров на их математические ожидания

К сожалению, этот простой подход редко позволяет найти действительно оптимальное решение, в связи с чем приходится использовать более сложные методы.

2. МP - формулировка задачи СП (задача с вероятностными ограничениями)

При данной постановке ЦФ имеет вид (18.1), однако ограничения записываются в виде

т.е. предполагается, что вероятность выполнения каждого ограничения должна быть не менее заданной величины . Задачу с условиями (3) называют задачей с вероятностными ограничениями.

Рассмотрим алгоритм решения задач данного типа. Будем предполагать, что величины распределены по нормальному закону и известны их математические ожидания, а также дисперсии величин

, .

Для простоты предположим также, что как , так и являются независимыми нормально распределенными случайными величинами, т.е.

;

и

.

Детерминированный эквивалент задачи СП с вероятностными ограничениями:

где - квантиль стандартного нормального распределения, определяемый из соотношения.

Система (18.4) описывает задачу нелинейного программирования, которая может быть решена с помощью стандартных пакетов прикладных программ.

Проанализируем отличия модели с вероятностными ограничениями (18.4) от стандартной модели с детерминированными ограничениями, т.е. определим, к каким изменениям приводит случайный характер параметров модели.

Введем обозначение

Анализ ограничений системы (18.4) показывает, что по сравнению с детерминированной задачей все ресурсы уменьшаются на величины . Т.е. вследствие стохастичности модели необходимо увеличение ресурсов на величину («плата за риск»). Например, для обеспечения выпуска продукции в заданном объеме в условиях риска необходимо ресурсы увеличить на величины .

Из формулы (18.5) видно, что на величины влияют вероятностные характеристики параметров модели:

• - дисперсии значений норм расхода; и

• - дисперсии ресурсов.

Очевидно, увеличение дисперсий приводит к необходимости увеличения «страховых запасов» . Важно также, что увеличение заданных уровней вероятности выполнения ограничений ( ) также приводит к увеличению (т.к. функция распределения вероятностей является монотонно возрастающей) – это можно считать своего рода «платой за определенность».

Пример.

Максимизировать целевую функцию

при ограничениях

Известно, что

Решение. Для вероятности находим по таблице функции стандартного нормального распределения .

Детерминированный вариант задачи принимает вид:

Решение дает: .

3. PP - формулировка задачи СП

При PP - формулировке сначала задается предельно допустимое «наихудшее» значение целевой функции. Если, исходя из экономического смысла задачи, необходимо максимизировать критерий эффективности, то задается минимально допустимое его значение и требуется выполнение условия .

Наоборот, при минимизации ЦФ (например, себестоимости продукции), задается максимально допустимое значение и налагается условие . Задача в PP – постановке состоит в том, чтобы найти такие значения переменных , при которых максимизируется вероятность того, что целевая функция будет не хуже предельно допустимого значения.

Математическая модель стохастической задачи в PP - формулировке может быть представлена в виде:

(в случае минимизации выражение в скобках в первой формуле (18.7) имеет вид ).

Законы распределения всех параметров считаются известными. Решение задач стохастического программирования данного типа получить сложнее.