16.2. Задача о потоке минимальной стоимости
К задачам такого типа сводятся транспортная задача, задача о назначениях и ряд других задач.
Задана
сеть, каждой дуге которой соответствует
пропускная способность
и дуговая стоимость
(стоимость доставки единицы потока по
дуге). Необходимо найти поток из источника
в сток
заданной
величины
,
обладающий минимальной
стоимостью.
Под стоимостью потока понимается
стоимость доставки продукта из источника
в сток.
Формулировка задачи:
Пример 2
Рассматривается сеть, представленная на Рис. 16.3.
Рис. 16.3. Транспортная сеть примера.
Цифры
в скобках обозначают: в случае узла 1
(источника) – количество имеющегося
продукта, в случае узлов 4 и 5 – их
потребности в продукте. Первые числа у
стрелок означают удельную стоимость
транспортировки продукта (
), а вторые – пропускную способность
дуги (например, магистрали). Индекс * у
дуг (2,3) и (4,5) означает, что их пропускные
способности могут считаться неограниченными
(например, они значительно превосходят
имеющиеся в наличии запасы продукта).
Требуется определить распределение потоков, при котором суммарная стоимость доставки минимальна, а потребности узлов 4 и 5 удовлетворяются.
Решение.
Задача сводится к минимизации функции
при ограничениях
Решение задачи дает минимальное значение стоимости потока:
при следующих интенсивностях дуговых потоков
(1,2) |
12 |
(2,4) |
4 |
(3,5) |
1 |
(1,3) |
8 |
(2,5) |
0 |
(5,3) |
0 |
(2,3) |
8 |
(3,4) |
15 |
(4,5) |
14 |
16.3. Задача о кратчайшем маршруте
Примером задач этого типа является задача о передаче электроэнергии от электростанции в город по линиям электропередач через ряд подстанций (промежуточных вершин). Предполагая, что стоимость передачи электроэнергии пропорциональна длине передающих линий, необходимо найти минимальный по расстоянию маршрут передачи.
К задачам этого класса могут быть сведены также задачи о замене оборудования, ряд задач календарного планирования и др.
Приведем
математическую формулировку задачи.
Задана сеть, длины дуг которой равны
. Требуется найти кратчайший маршрут
из источника
в сток
,
т.е. определить минимум функции
при ограничениях:
где
Пример 3. Для транспортной системы, представленной на Рис. 12.5, определить кратчайший маршрут между узлами 1 и 7.
15
Рис. 12.5. Схема транспортной системы примера.
Очевидно, задача сводится к определению минимума функции
при ограничениях
.
Смысл ограничений:
необходимо,
чтобы из узла 1 (источник) перевозимый
продукт был отправлен (
);
в
узел 7 (сток или приемник) продукт был
доставлен (
);
полный поток через все промежуточные пункты должен быть равен нулю, так как предполагается, что продукт не остается ни в одном из них.
Ответ:
и кратчайшему расстоянию между пунктами 1 и 7 соответствует маршрут
(1-3–4-7).
Вопросы для самоконтроля
В чем суть оптимизации сетевых потоков?
Сформулируйте задачу о максимальном потоке.
Что представляет собой источник сети?
Что представляет собой сток?
Сформулируйте задачу о потоке минимальной стоимости.
Сформулируйте задачу о кратчайшем маршруте.