Тема 4. Произведение преобразований

Пусть даны линейные преобразования f и g соответственно с матрицами А и В в некотором базисе. Тогда произведение этих преобразований имеет матрицу ВА в том же базисе. Отметим, что в общем случае АВ  ВА.

Например, преобразование g с матрицей переводит точку М(х, у) в точку М(х, у) по формулам

. (2)

Преобразование А с матрицей переводит точку М(х, у) в точку М(Х₂, У₂) по формулам

, . (3)

Чтобы получить формулы результирующего преобразования точки М в точку М, надо подставить в (3) выражения (2). Получим

,

.

Стало быть, матрица произведения преобразований есть

.

Тема 5. Собственные векторы линейных преобразований

Пусть - линейное преобразование, - вектор, отличный от нуля. Определение. Ненулевой вектор , удовлетворяющий равенству

 =  ,

где  -некоторое действительное число, называется собственным вектором преобразования , число  - собственным значением этого преобразования.

Если А - матрица линейного преобразования, Х - матрица-столбец из координат вектора , то равенство (1) можно записать в матричном виде

АХ = Х.

Перенося члены в одну сторону получим

AX- X=0 или (A-

Уравнение для собственных значений называется характеристическим

уравнением .

Пример

Пусть преобразование  имеет матрицу

.

Найти собственные векторы матрицы.

Решение. Сначала найдем собственные значения матрицы. Характеристическое уравнение имеет вид

,

или . Корнями этого уравнения являются ₁ = -1, =3. Обозначаем через координаты собственного вектора .

Тогда уравнение при  = ₁ = -1 имеет вид

,

или в раскрытом виде . Полагая =, найдем отсюда = -3. Следовательно, собственные векторы, отвечающие корню _1, имеют вид , где  - любое число, отличное от нуля.

Тема 6. Комплексные числа

Комплексными называются числа вида z=x+iy, где x и y-действительные числа, а i² =-1. Число x называется действительной частью комплексного числа z, а число y – коэффициент при i – мнимой частью. Число =x-iy называется сопряженным к числу z=x+iy. У сопряженных чисел равны действительные части, а мнимые отличаются только знаком. Числу z можно сопоставить вектор, направленный из начала O в точку z. Модуль комплексного числа z вычисляется по формуле

.

Угол образованный радиусом-вектором Oz (рис.1) с положительным направлением действительной оси Оx, называется аргументом числа z и обозначается Argz.

Любое комплексное число z можно представить в алгебраической форме z = x + iy и в тригонометрической форме z= r (cos +isin). Здесь , =Аrgz -, причем различные значения аргумента отличаются на 2 k , где к - целое число. Под главным значением аргумента понимается значение , удовлетворяющее условию -  . Таким образом Аrgz = аrgz+2 к.

Комплексные числа z еще можно представить в показательной форме z =rе^i, где r и  - то, что и в тригонометрической форме.

y

z

r

o x

Рис.2

Пример

Найти корни уравнения .

Решение. Находим модуль и аргумент числа

.

Тогда корни данного уравнения определяем по формулам

, к = 0,1,2, т.е. уравнение имеет три корня:

, при к=0;

, при к=1;

, при к=2

или