4.Основные элементарные функции и их графики

5. . Предел функции. Простейшие следствия из второго определения предела функции

Функция f(x) называется ограниченной сверху (снизу) на множестве X, если $ M(m)О R " xО X Ю f(x)Ј M (f(x)і m).

Теорема 6 (существование предела у монотонной функции). Для того чтобы неубывающая на множестве E функция f:E® R имела предел при x®s, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена сверху, а для того чтобы она имела предел при x® i необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена снизу.

1. ТЕОРЕМА: Для того, чтобы в точке x₀ существовал двусторонний предел функции, необходимо и достаточно, чтобы существовали оба односторонних предела и они были равны между собой.

6. Понятие ограниченной функции, примеры. Понятие монотонной функции, примеры. Теорема осуществовании предела монотонной ограниченной функции

6.Односторонние пределы. Теорема о связи односторонних пределов с двусторонними

Число   называется правым пределом функции   в точке  , если для     такое, что для любого   и  , выполняется неравенство   (рис. 1). Правый предел обозначается 

Число   называется левым пределом функции   в точке  , если для     такое, что для любого   и  , выполняется неравенство   (рис. 2). Левый предел обозначается 

Левый и правый пределы функции называются односторонними пределами.

8. Бесконечно малые и их свойства. Сравнение бесконечно малых. Некоторые виды эквивалентностей. Теорема о представлении функции в виде суммы ее предела и бесконечно малой.

Функция   называется бесконечно малой функцией (б.м.ф.) при   (или в точке   ), если

Основные свойства бесконечно малых функций

1°   Сумма конечного числа б.м функций является функцией б.м.

2°   Произведение б.м функции на ограниченную есть функция б.м.

3°   Произведение двух б.м функций есть функция б.м.

4°   Произведение б.м функции на константу является б.м функцией.

5°   Частное от деления б.м функции на функцию, предел которой не равен нулю, есть функция б.м.

6°   Функция  , обратная к б.м функции  , есть функция бесконечно большая. Верно и обратное.

9, Основные теоремы о пределах функции (предел суммы и разности двух функции, предел произведения

Теорема 1 – если функция f(х) имеет предел при х (стремящемся к +бесконечности_ равный b, то ее можно представить как сумму числа b и бесконечно малой функции(при х стремящемся к –бесконечности)

, 10. Первый замечательный предел.- Предел отношения синуса к его аргументу равен единице в случае, когда аргумент стремится к нулю.

11. Второй замечательный предел  или 

.

12. Непрерывность функций. Свойства непрерывных на отрезке функций. Задача о непрерывном

начислении процентов.

13. Производная. Задачи, приводящие к понятию производной.(см тетр)

Производная - это предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует.

Функцию, имеющую конечную производную, называют дифференцируемой.  Процесс вычисления производной называется дифференцированием.

14. Определение производной. Геометрический смысл производной.

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке).

Геометрический смысл производной. Производная в точке x ₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.

15.Таблица производных