22. Рекуррентное соотношение, их общее и частное решение.

Рекуррентным соотношением (или рекуррентной формулой) называется соотношение вида

, (1)

где – функция, с помощью которой можно вычислить все члены последовательности с заданными первыми элементами .

Последовательность , получаемая с помощью соотношения (1), называется рекуррентной (recurrere (лат.) – возвращаться).

Примеры. 1) Соотношение определяет арифметическую прогрессию с разностью и с начальным членом a .

2) Соотношение a_n+1=a_n×q определяет геометрическую прогрессию со знаменателем q¹0 и с начальным членом a₀.

3) Соотношение a_n+2=a_n+a_n+1 с начальными элементами a₀₌a₁₌1 задает последовательность Фибоначчи.

В 1202 году Леонардо из Пизы, известный как Фибоначчи – сын Боначчи, написал сочинение «Liber abacci», в котором была задача: «Предположим, что через месяц от одной пары кроликов порождает еще одна пара кроликов, а рождают кролики со второго месяца рождения. Имеется одна пара кроликов. Сколько пар кроликов будет через один год?»

Число новорожденных пар равно числу кроликов два месяца назад (a_n). Чтобы получить число кроликов в этом месяце (a_n+2), надо к этому числу прибавить число кроликов месяц назад (a_n+1). Следовательно, последовательность чисел пар кроликов по месяцам определяется соотношением a_n+2=a_n+a_n+1 с начальными элементами a₀₌1 и a₁₌1.

Месяц	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Число пар кроликов через месяц	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233	377

Общим решением рекуррентного соотношения (1) называется множество всех последовательностей, удовлетворяющих этому соотношению.

Частным решением соотношения (1) называется одна из последовательностей, удовлетворяющих этому соотношению.

Пример 1¢. Последовательность a_n=a₀₊nd является общим решением соотношения a_n=a_n-1+d. Это – формула общего члена арифметической прогрессии с разностью d и с начальным членом прогрессии a₀.

Пример 2¢. Последовательность b_n=b_0×qⁿ является общим решением соотношения b_n=b_n-1×q. Это – формула общего члена геометрической прогрессии со знаменателем q¹0 и с начальным членом прогрессии b₀.

Пример 3¢. Так называемая формула Бине j_n= является частным решением соотношения j_n=jn-2+jn-1 при j_0=j1=1.

23. Линейное рекуррентное соотношение.

Соотношение вида

a_n+k+p₁a_n+k-1+…+p_ka_n=h(n) (2)

где h(n) – функция от числа , а , называется линейным рекуррентным соотношением.

Линейное рекуррентное соотношение называют однородным, если f(n)=0:

a_n+k+p₁a_n+k-1+…+p_ka_n=0. (3)

Многочлен x^k+p₁x^k-1+…+p_k-1x+p_k называется характеристическим для соотношения (2).

Корень a многочлена называется простым, если делится на , но не делится на .

Корень a многочлена называется кратным, если делится на , но не делится на , .

При этом число называется кратностью корня .

Основная теорема алгебры: многочлен степени с комплексными коэффициентами имеет комплексных корней с учетом их кратности.

Теорема 1. Пусть характеристический многочлен однородного линейного рекуррентного соотношения (3) имеет n простых корней a₁, …, a_n. Тогда общее решение рекуррентного соотношения (3) имеет следующий вид:

, (4)

где c₁,…,c_kÎC.

Доказательство. Легко проверить следующие два утверждения.

(a) Последовательность cxⁿ, где cÎC, является решением рекуррентного соотношения (3).

(b) Если последовательности a_n и b_n являются решениями соотношения (3), то последовательность a_n+b_n также является решением соотношения (3).

Из (a) и (b) следует, что любая последовательность вида (4) является решением соотношения (3).

Обратно, любое решение соотношения (3) имеет вид (4).

При n=0,1,…,k-1, из равенства (4) мы получим систему линейных уравнений относительно c₁,…,c_k:

(5)

Определитель системы (5) есть известный в алгебре определитель Вандермонда:

.

Так как простые корни x₁,…,x_k попарно различные, то D¹0. Значит, система (5) имеет (единственное) решение.

Теорема 2. Пусть характеристический многочлен однородного линейного рекуррентного соотношения (3) имеет k корней: a₁ кратности , …, a_k кратности , , . Тогда общее решение рекуррентного соотношения (3) имеет следующий вид:

, (6)

где .

Замечание. Общее решение неоднородного линейного соотношения (2) можно найти как сумму общего решения однородного линейного соотношения (3) и частного решения неоднородного линейного соотношения (2).