19. Формулы числа сочетаний с повторениями.

Число всех сочетаний с повторениями по m из n элементов обозначается .

Формула числа сочетаний с повторениями из n элементов по m сводится к формуле числа сочетаний без повторений из n+m-1 элементов по m.

Теорема. .

Доказательство. Сочетание a_1a2…a_m не меняется от перестановки элементов. Поэтому мы одинаковые элементы можем размещать рядом.

Пусть a₁, a₂, …, a_mÎ{a₁, a₂, …, a_n}. Тогда каждое сочетание по m из n элементов множества {a₁, a₂, …, a_n} с повторениями можно представить следующим образом:

a₁…a₁(s₁ раз)a₂…a₂(s₂ раз)…a_n…a_n(s_n раз), (1)

где s₁,s₂,…,s_n³0, s₁₊s₂₊…+s_n=m.

Каждому сочетанию (1) мы поставим в соответствие последовательность

1…1(s₁ раз)01…1(s₂ раз)0…01…1(s_n раз). (2)

В последовательности (2) m единиц и n-1 нулей. Указанное соответствие является биекцией между множеством всем сочетаний с повторениями по m из n элементов множества {a₁, a₂, …, a_n} и множеством всех последовательностей, состоящих из единиц и n-1 нулей.

Рассмотрим (m+n-1)-множество A номеров элементов последовательности (2). Множество номеров элементов последовательности (2), равных единице, является m-подмножеством множества A, т.е. сочетанием без повторений по m из m+n-1 элементов множества A. Это соответствие между множеством всех последовательностей вида (2) и множеством всех m-подмножеством множества A является биекцией. Значит, сочетаний с повторениями по m из n столько же, сколько сочетаний без повторений по m из m+n-1.

20. Биномиальные коэффициенты как числа сочетаний без повторений.

Рассмотрим формулу бинома Ньютона.

Бином Ньютона (1+x)ⁿ, после раскрытия скобок и приведения подобных, преобразуется в многочлен канонического вида a₀xⁿ⁺a₁x^n-1+…+a_n-1x¹⁺a_nx⁰, где a₀₌1, a_n=1, x⁰⁼1. Оказывается, что , где i=0,1,…,n. Поэтому числа сочетаний называются также биномиальными коэффициентами. Применятся обозначение: . Формула в следующей теореме называется формулой бинома Ньютона или биномом Ньютона.

Теорема. .

Доказательство. . Раскроем скобки и приведем подобные: в полученном многочлене коэффициент при степени xⁱ равен сумме i единиц и n-i нулей. Число всевозможных выборов i единиц из общего числа выборов n равно .

Следствие. 1) ;2) ;3) ;

4) .

Доказательство. 1) В тождестве теоремы подставим x=1.

2) В том же тождестве подставим x=-1.

3) Продифференцируем обе части того же тождества по x:

.

Затем подставим x=1.

4) Проинтегрируем обе части того же тождества по x от 0 до 1:

.

Получим: .

21. Перестановки с повторениями и полиномиальная формула.

Разбиение n- множества на попарно непересекающиеся классы с известным набором чисел элементов классов называется разбиением на блоки длины , где 1£n₁, …, n_k£n, а n₁₊…+n_k=n.

Теорема 1. Пусть – число разбиений n-множества длины . Тогда .

Доказательство. Пусть множество разбито на блоки M₁,…,M_k, такие, что |M_1|=n₁,…,|M_k|=n_k, 1£n₁,…,n_k£n, n₁₊…+n_k=n.

Элемент множества M₁ можно выбрать способами, элемент множества M₂ – способами, элемент множества M₃ – способами и т.д. Применим правило произведения:

После сокращений получим: .

Докажем теорему о полиномиальной формуле.

Теорема 2. .

Доказательство. После раскрытия степени, подсчитываем число одночленов вида . Их столько же, сколько будет разбиений множества множителей степени на подмножества, содержащие соответственно и имеющие мощность . Потому коэффициент при одночлене равен .

Формула, доказываемая в теореме 2, называется полиномиальной (или формулой полинома Ньютона).

Перестановкой с повторениями называется размещение с повторениями по n из n элементов k-множества M (k£n) со следующим дополнительным условием: различные k элементов множества M повторяются соответственно n₁,…,n_k раз, 1£n₁,…,n_k£n, n₁₊…+n_k=n.

Теорема 3. Число перестановок с повторениями различных k элементов n₁,…,n_k раз, 1£n₁,…,n_k£n, n₁₊…+n_k=n, равно .

Доказательство. Пусть M – множество номеров перестановки с повторениями, одной из указанных в условии теоремы, M₁,…,M_k – множества номеров с одинаковыми элементами, повторяющимися n₁,…,n_k раз соответственно. Тогда семейство множеств {M₁,…,M_k} будет разбиением множества M на k блоков. Значит, каждой перестановке с повторениями соответствует вполне определенное разбиение множества M на k блоков. Ясно, что это соответствие является биекцией. Значит, искомое число перестановок с повторениями равно числу разбиений на k блоков .