Виды выборок по m элементов из n элементов.
Комбинации, или выборки, – это различные конструкции элементов заданного множества, подчиненных тем или иным условиям. Простейшие из них – это выборки из n элементов по m, построения, в которых из заданного n-множества надо выбрать элементы m раз, упорядоченных или неупорядоченных, с повторениями или без повторений.
Размещения из n элементов по m – это упорядоченные выборки элементов из заданного n-множества по m.
Приведем
все размещения из 3 элементов множества
по 2.
С
повторениями:
.
Без
повторений:
.
Приведем
все размещения из 2 элементов множества
по 3.
С
повторениями:
.
Сочетания из n элементов по m – это неупорядоченные выборки элементов из заданного n-множества по m.
Приведем все сочетания из 3 элементов множества по 2.
С
повторениями:
.
Без
повторений:
.
Приведем все сочетания из 2 элементов множества по 3.
С
повторениями:
.
Математическое представление выборок. Размещение из n элементов по m – это просто последовательность длины m элементов из n-множества.
Сочетание без повторений из n элементов по m – это просто подмножество n-множества, содержащее ровно m элементов.
Сочетание
с повторениями из
n
элементов по m
– это график некоторого отображения a
из множества первых m
натуральных чисел в заданное n-множество:
.
Только сочетание мы записываем мы проще:
a1a2…am.
Формулы числа размещений без повторений.
Число
всех размещений без повторений по m
из n
элементов обозначается
.
Теорема
1.
.
Доказательство. В размещении (x1,…,xm) без повторений первый элемент x1 можно выбрать n способами, второй элемент x2 можно выбрать n-1 способами, …, m-й элемент xm можно выбрать n-(m-1)=n-m+1 способами.
n-факториал – это произведение первых n положительных целых чисел: n!=1×2×3×…×n. Считается, что 0-факториал равен 1: 0!=1.
Теорема
2.
.
Доказательство. Правую часть равенства теоремы 2 умножим и разделим на произведение (n-m)×(n-m-1)×…×2×1=(n-m)!
Перестановка из n элементов – это размещение без повторений из n элементов по n. Число всех перестановок из элементов обозначается Pn.
Буква P от французского «permutation» («перестановка»).
Из теоремы 1 или теоремы 2 следует, что Pn=n!
Формула числа размещения с повторениями.
Число
всех размещений с повторениями по m
из n
элементов обозначается
.
Буква A от французского «arrangement» («приведение в порядок»).
Теорема.
.
Доказательство. В размещении (x1,…,xm) с повторениями первый элемент x1 можно выбрать n способами, второй элемент x2 можно выбрать n способами, …, m-й элемент xm можно выбрать n способами.
По
правилу произведения
.
Формулы числа сочетаний без повторений.
Число
всех сочетаний без повторений по m
из n
элементов обозначается
.
Буква C от французского «combinaison» («сочетание»).
Теорема.
.
Доказательство.
Каждое размещение без повторений
(x1,…,xm)
по m
из n
можно построить в 2 шага: вначале строится
сочетание без повторений {x1,…,xm}
по m
из n,
а затем – перестановка (x1,…,xm)
из m
элементов множества {x1,…,xm}.
По правилу произведения
Из теоремы и формул для числа размещений без повторений следуют еще 2 формулы для числа сочетаний без повторений:
.
.