11. Основные правила комбинаторики.

Термин «комбинаторика» был введен Лейбницем («Рассуждения о комбинаторном искусстве», 1666 год). Основные задачи комбинаторики:

a) Перечислительной задача. найти число комбинаторных конфигураций с заданными свойствами.

b) Существует ли комбинаторная конфигурация с (очень сложными) заданными свойствами?

c) Алгоритмическая задача. Найти метод генерации комбинаторных конфигураций с заданными свойствами.

d) Оптимизационная задача. Найти комбинаторную конфигурацию с экстремальным значением некоторого параметра.

В теории множеств доказываются следующие правила о числе элементов множеств:

(I) Правило суммы. .

(II) Правило произведения. .

Формулировка правила суммы на языке комбинаторики:

(I) Если объект можно выбрать способами и объект можно выбрать способами, причем, ни один из выборов не совпадает ни с каким выбором , то выбор « или » можно осуществить способами.

Формулировка правила произведения на языке комбинаторики:

(II) Если объект X можно выбрать m способами и объект Y можно выбрать способами, то упорядоченную пару (X,Y) можно выбрать mn способами.

Операции объединения, пересечения и декартового произведения двух множеств могут быть обобщены на множеств , , …, .

Объединение множеств , , …, содержит те, и только те, элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A₁,…,A_n:

.

Пересечение множеств , , …, содержит те, и только те, элементы, которые принадлежат одновременно каждому из множеств A₁,…,A_n:

.

Декартово произведение n множеств , , содержит последовательности из n элементов, i-й элемент которой принадлежит множеству :

.

Правило суммы может быть обобщено: если множества попарно не пересекаются, то

.

Правило произведения может быть обобщено:

.

12. Формула включений и исключений для двух множеств.

По правилу суммы можно найти число элементов объединения двух непересекающихся множеств. Найти число элементов объединения двух пересекающихся множеств можно по формуле, сформулированной в следующей теореме.

Теорема. |AÈB|=|A|+|B|-|AÇB|.

Доказательство. Так как множества A B и B, а также A B и AÇB не пересекаются, (A B)ÈB=AÈB, (A B)È(AÇB)=A, то по правилу суммы

|AÈB|=|A B|+|B|,

|A|=|A B|+|AÇB|.

Из первого равенства по частям вычтем второе, получим

|AÈB|-|A|=|B|-|AÇB|.

13. Формула включений и исключений для трех и для n множеств.

Метод включений и исключений при подсчете числа элементов объединения трех множеств заключается в следующем: 1) подсчитываем элементы всех трех множеств без различения элементов; 2) вычитываем число элементов, повторяющихся в каких-либо двух списках; 3) прибавляем число элементов, которые повторяются в трех множествах, поскольку они два раза вычитывались.

Теорема. |AÈBÈC|=|A|+|B|+|C|-|AÇB|-|AÇC|-|BÇC|+|AÇBÇC|.

Доказательство. Так как AÈBÈC=(AÈB)ÈC, то, в силу теоремы 1,

|AÈBÈC|=|AÈB|+|C|-|(AÈB)ÇC|.

Используем свойство дистрибутивности пересечения относительно объединения: (AÈB)ÇC=(AÇC)È(BÇC). И ещё раз применим теорему 1:

|(AÇC)È(BÇC)|=|AÇC|+|BÇC|-|(AÇC)Ç(BÇC)|.

По свойствам пересечения, (AÇC)Ç(BÇC)=AÇBÇC.

Сформулируем формулу включений и исключений для n множеств:

|A_1È…ÈA_n|=|A_1|+…+|A_n|-|A_1ÇA_2|-|A_1ÇA_3|-…-|A_n-1ÇA_n|+

+|A_1ÇA_2ÇA_3|+|A_1ÇA_2ÇA_4|+…+|A_n-2ÇA_n-1ÇA_n|+…

…+(-1)^n-1|A_1ÇA_2Ç…ÇA_n-1ÇA_n|.