8. Отношения эквивалентности, фактор - множества.

Рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение называется эквивалентностью.

Пусть ~ есть эквивалентность на множестве M, а xÎM. Тогда множество [x]={y|y~x} называется классом эквивалентности, порожденным элементом x.

Фактор-множество множества относительно эквивалентности ~ – это семейство всех классов эквивалентности: M/~={[x]|xÎM}.

Теорема. Пусть на множестве M задана эквивалентность ~. Тогда семейство всех классов эквивалентности [x], xÎM, есть разбиение M на классы.

Доказательство. Проверим выполнение всех трех условий определения разбиения множества на попарно непересекающиеся классы:

1) для всех xÎM класс [x]¹Æ, [x]ÍM;

2) для всех x,yÎM классы [x] и [y] не пересекаются: [x]Ç[y]=Æ, где x¹y;

3) объединение всех классов [x], xÎM совпадает с множеством M.

Условие 1) следует из рефлексивности отношения ~.

Условие 2) из транзитивности и симметричности отношения ~. Действительно, если zÎ[x], zÎ[y], x,y,zÎM, то z~x, z~y, x~z, x~y, [x]=[y].

Условие 3) также следует из рефлексивности отношения ~.

Пример. Эквивалентность "ученики x и y учатся в одном классе" на множестве M всех учеников школы определяет разделение M на классы.

9. Разбиение множества на попарно непересекающиеся классы.

Семейство множеств M_i, iÎI, называется разбиением M на классы, если:

1) для всех iÎI множество M_i непустое подмножество M: M_i¹Æ, M_iÍM;

2) множества M_i попарно не пересекаются: M_i ÇM_j=Æ, где i¹j;

3) объединение всех M_i, iÎI, совпадает с множеством M.

Теорема. Пусть дано разбиение M на классы. Тогда отношение P на M, такое, что xPyÛ"x и y принадлежат одному классу" есть эквивалентность.

Пример. Разбиение множества всех учеников школы на классы определяет эквивалентность "ученики x и y учатся в одном классе".

10. Отношения порядка, упорядоченные множества.

Асимметричное и транзитивное отношение называется порядком. Если порядок является также рефлексивным (антирефлексивным), то называется нестрогим (строгим) порядком. Связный порядок называется линейным. Примеры строгих порядков: <, > на множестве R, Ì, É на множестве 2^M, где M – некоторое множество. Примеры нестрогих порядков: £, ³ на множестве R, Í, Ê на множестве 2^M. Порядки <, >, £, ³ являются линейными, а порядки Ì, É,Í, Ê – нелинейными. Отношение «x делится на y» является нелинейным нестрогим порядком на множестве N, но не на множестве Z. Лексикографический порядок (Расположение слов по алфавиту) является линейным строгим порядком на множество слов некоторого алфавита.

Пара (M,£), где M – непустое множество, а £ – отношение порядка на M, называется упорядоченным множеством M. Наибольшим (наименьшим) элементом упорядоченного множества M называется такой его элемент u, что u³x (u£x) для всех xÎM. Максимальным (минимальным) элементом упорядоченного множества M называется такой его элемент m, что ( ) для всех xÎM. Наибольший (наименьший) элемент является единственным максимальным (минимальным) элементом, но единственный максимальный (минимальный) элемент не является, вообще говоря, наибольшим (наименьшим) элементом.