38. Остов графа. Поиск в глубину и поиск в ширину.

Остов графа – это подграф графа, содержащий все его вершины и являющийся деревом.

Приведем пример графа и одного из его остовов:

Обходы всех вершин графа совершаются как обход некоторого его остова. Методами обхода графа являются поиск в глубину и поиск в ширину.

Алгоритм поиска в глубину: для каждой не пройденной вершины необходимо найти все не пройденные смежные вершины и повторить поиск для них.

Пример графа и поиска в глубину этого графа:

1-2-3-4-3-5-3-2-1-6-7-6-8-6-9-10-11-10-9-12-9-6-1.

Порядок поиска в ширину: началу обхода приписывается метка 0; вершинам, смежным с вершинами метки i, – метка i+1 (i=0,1,2,…). Затем нумеруем вершины: вначале вершины с меткой 0, затем с меткой 1 и т. д.

Пример графа и поиска в ширину этого графа:

39. n-раскраски графов и карт. Хроматическое число графа.

-раскраска графа – это приписывание цветов его вершинам, такое, что две любые смежные вершины окрасятся в разные цвета.

Хроматическим числом графа называется наименьшее число цветов, для которого граф имеет -раскраску. Граф называется -раскрашиваемым, если , и -хроматическим, если .

-раскраска плоской карты – это приписывание цветов его граням, такое, что любые два смежных ребра окрасятся в разные цвета.

Без доказательства приведем следующие факты:

1) Каждый граф 5-раскрашиваем.

2) Гипотеза «каждый граф 4-раскрашиваем» равносильна гипотезе 4 красок «каждая плоская карта 4-раскрашиваема».

В 1976 г К. Аппель и В. Хакен доказали, что четырьмя красками можно раскрасить любую карту. Их доказательство очень объемное, опирается на алгоритмы, реализуемые на компьютерах, в нем все вычисления человеку невозможно проверить.

40. 1-, 2-, 3-, 4-хроматические графы. Гипотеза четырех красок.

тогда и только тогда, когда граф вполне не связан (не содержит ребер).

Теорема Кенига. тогда и только тогда, когда граф не содержит нечетных простых циклов.

Треугольник и являются примерами 3- и 4- хроматического графа.

Положительное решение проблемы четырех красок для плоских карт означает, что нет плоских графов с хроматическим числом более 4.