33. Гамильтонов цикл. Гамильтонов граф. Тэта-граф.

Задача Гамильтона: совершить кругосветное путешествие по ребрам додекаэдра, вершины которого символизировали крупные города Земли, при этом побывать в каждом городе ровно по одному разу.

На рисунке – развертка додекаэдра.

Гамильтонов цикл – это простой цикл, проходящий через все вершины графа.

Гамильтонов граф – это граф, в котором содержащий хотя бы один гамильтонов цикл.

Полные графы – гамильтоновы.

Связный граф называется -связным, если для превращения его в несвязного графа нужно удалить не менее вершин.

Пример трехсвязного графа – колесо :

Связностью графа называется наименьшее число его вершин, удаление которых приводит к несвязному или тривиальному графу.

Легко видеть, что односвязные графы негамильтоновы.

Значит, гамильтоновы графы двусвязные, т.е. они связности 2 и более.

Тэта-графом называют граф, содержащий две вершины степени 3, соединенные тремя простыми попарно непересекающимися цепями длины не менее двух:

Если двусвязный граф содержит тета-граф, то он негамильтонов граф.

Приведем примеры графов, обладающих или не обладающих свойствами эйлеровости и гамильтоновости.

граф	гамильтонов	Не гамильтонов
эйлеров
не эйлеров

34. Плоские и планарные графы. Плоские карты. Теорема Эйлера.

Плоский граф – это граф, который нарисован на плоскости так, что никакие два его ребра не пересекаются.

Планарный граф – это граф, изоморфный плоскому графу.

На рисунке а) – планарный, но не плоский, граф, б) плоский граф.

Каждый плоский граф разбивает плоскость на грани: внутренние - ограниченные и внешнюю – неограниченную.

Изучение планарных графов было начато Эйлером в его исследованиях полиэдров. Следующая формула Эйлера – это классический результат в математике: , где – число вершин, – число ребер, – число граней полиэдра. Формула Эйлера справедлива и в более общем случае для плоской карты – связного плоского графа, рассматриваемого вместе со всеми его гранями.

Теорема. Пусть плоская карта имеет вершин, ребер и граней. Тогда имеет место следующее равенство:

. (1)

Доказательство. Применим индукцию по числу ребер .

Если , то формула (1) примет следующий вид: .

Допустим, что для всех плоских карт с числом ребер не больше формула (1) верна. Плоская карта с числом ребер получается из плоской карты с числом ребер двумя способами:

1) прибавлением новой вершины , которая соединяется ребром с одной из старых вершин;

2) соединением ребром двух не смежных вершин.

В первом случае формула (1) проверяется следующим образом:

.

Во втором случае появляется новая грань и формула (1) проверяется следующим образом:

.

Следствие 1. Если в -карте каждая грань образована циклом из вершин, то

. (2)

Доказательство. Число ребер, принадлежащих каждой грани равно . Значит, число вершин, подсчитываемых при каждой грани, равно . При этом каждое ребро подсчитывается дважды, поэтому число пересчитываемых вершин равно . Получим равенство . Подставим в (1) и найдем (2).

Теорема Куратовского. Граф планарен тогда и только тогда, когда не содержит подграфа, гомеоморфного или .