Конспект лекций по теории алгоритмов (пи, 1 семестр) (лектор – доцент Вахитов р.Х.)
Множество
называется конечным,
если оно пустое или может быть задано
перечислением элементов в виде конечной
последовательности:
.
Множество, заданное перечислением
элементов, не зависит от того, повторяются
элементы или нет, и не зависит от того,
переставляются элементы или нет.
Например,
,
.
Множество
называется
-множеством,
если все элементы
попарно различны. Число
при этом называется числом
элементов
(или мощностью)
множества
и обозначается
.
Число элементов пустого множества равно
нулю:
.
Если множество не конечное, то оно
называется бесконечным.
Понятие мощности множества обобщается
и на бесконечные множества. Мощности
бесконечных множеств могут быть
различными, например, множества
и
имеют различные мощности.
Свойства отношений между множествами и операций над множествами можно наглядно иллюстрировать с помощью диаграмм Венна (кругов Эйлера).
Два
множества
и
называются
равными
,
если
.
Отношение включения над множествами и его свойства.
Множество
называется подмножеством
множества
,
если
.
Множество
называется собственным
подмножеством
множества
,
если
и
.
Перечислим 4 основные свойства отношения включения между множествами:
1)
включение рефлексивно:
для всех множеств
;
2)
включение антисимметрично:
из
и
следует
;
3)
включение транзитивно:
из
и
следует
;
4) включение не связно: неверно, что ( или ).
Существует
множество, содержащее все подмножества
данного множества
.
Оно называется множеством
всех подмножеств множества
и обозначается
:
.
Примеры.
Если
,
то
.
Если
,
то
.
Теорема.
Пусть множество
конечно. Тогда
.
Доказательство.
Применим математическую индукцию по
числу
элементов множества
.
Заметим, что
.
База
индукции:
.
Тогда
,
и
.
Шаг
индукции: допустим, что
,
и для всех множеств с
элементами утверждение теоремы 1
выполнено. Так как
,
можно выбрать некоторый элемент
множества
.
Поскольку
,
то по индуктивному предположению
множество
имеет
подмножеств, не содержащих элемента
.
Столько же у него подмножеств, содержащих
элемент
.
Следовательно,
.
Теорема доказана.
Объединение и пересечение, их свойства.
Каждое данное множество изображается в виде круга.
Результаты операций выделяются в виде частей круга и их соединений.
Объединением двух множеств и называется множество всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств и :
.
Пересечением двух множеств и называется множество всех элементов, принадлежащих одновременно каждому из множеств и :
.
Перечислим некоторые основные свойства операций È и Ç:
1)
законы идемпотентности:
и
;
2)
законы коммутативности:
и
;
3) законы ассоциативности:
и
;
4)
законы поглощения:
и
;
5) законы дистрибутивности:
и
.
Разность и симметрическая разность двух множеств.
Разностью множеств и называется множество всех элементов, принадлежащих множеству , но не принадлежащих множеству :
.
Перечислим некоторые основные свойства разности множеств:
1)
и
;
2) законы де Моргана:
и
.
Симметрической
разностью
множеств
и
называется объединение двух разностей
и
:
.
Универсальное множество – это множество всех исследуемых объектов.
Универсальное множество изображается в виде прямоугольника.
Дополнением
множества
называется разность универсального
множества
и
множества
:
.