Быстрое преобразование Фурье (бпф)

Сущность быстрого преобразования Фурье заключается в разбиении исходной последовательности отсчетов {s(nT)} объемом N (N считается равным 2^m) на две последовательности (четную и нечетную), для каждой из которых вычисляются ДПФ, а результаты объединяются. Можно показать, что при таком однократном прореживании по времени получается сокращение числа арифметических операций, необходимых для нахождения отклика, примерно в 2 раза.

При необходимости такое прореживание можно проводить многократно, пока в каждой последовательности останутся по 2 отсчета (тогда спектральные коэффициенты находятся путем сложения и вычитания отсчетов).

При таком многократном прореживании получается экономия в числе арифметических операций для нахождения отклика примерно в N / log₂N раз.

Например, при N=2¹⁰=1024, обычное ДПФ требует N² 10⁶ арифметических операций, в то время как при БПФ их требуется примерно в 100 раз меньше.

Заметим, что существенная экономия получается лишь при большом N.

Известен и другой алгоритм реализации БПФ, называемый прореживанием по частоте.

Аналогично алгоритмам реализации прямого БПФ существуют алгоритмы реализации обратного БПФ.

Раздел 5

1. Понятие случайного сигнала (сс) и применение для его описания законов распределения и неслучайных числовых характеристик закона распределения.

Колебание Х(t) называется случайным сигналом, если его значения в любой момент времени являются случайными величинами Х(t_i).

Х_i=Х(t_i) – одномерная случайная величина

Если генератор случайного колебания включить на время Т и записать результат х(t), то этот результат принято называть– реализацией СС.

Реализация СС – это детерминированный сигнал.

Если многократно повторить этот эксперимент, то получится ансамбль реализаций { хк(t) }.

Случайную величину можно назвать сечением случайного сигнала в момент времени .

Полное статистическое (вероятностное) описание одномерной случайной величины (СВ) Х(t₁) дает одномерный закон распределения СВ.

Имеются две разновидности одномерного закона распределения.

1) Интегральный закон распределения (функция распределения)

- вероятность того, что СВ не превышает некоторого значения х.

Значения функции распределения можно найти по ансамблю реализаций:

(при больших N)

N – полное число реализаций

l – число реализаций, удовлетворяющих условию Х(t₁)≤x

Свойства функции распределения:

- безразмерная.

- неубывающая.

-

-

-

2) Дифференциальный закон распределения (плотность вероятности).

Свойства плотности вероятности:

- размерность [1/x]

- W(x)≥0

- свойство нормировки

-

Пример:

Заштрихованная площадь характеризует вероятность попадания СВ в интервал от a до b.

В общем случае одномерный закон распределения зависит от того, в какой точке проведено сечение, т.е. одномерный закон распределения – функция времени.

Кроме одномерного закона распределения для описания случайных величин можно использовать неслучайные числовые характеристики одномерного закона распределения (моменты распределения).

Неслучайные числовые характеристики делятся на:

1) Начальные моменты распределения.

- начальный момент первого порядка (математическое ожидание СВ) – это среднее значение СВ. Усреднение проводиться по ансамблю реализаций и обозначается .

- начальный момент второго порядка – это среднее значение квадрата СВ.

- начальный момент k-порядка – среднее значение СВ в степени k.

2) Центральные моменты распределения – начальные моменты от центрированной СВ:

Второй центральный момент

В общем случае неслучайные числовые характеристики зависят от момента времени, в который проведено сечение, т.е.

m_x(t), - функции времени.

Знание одномерных законов распределения в различных сечениях СС не дает полного описания СС даже если число сечений стремится к бесконечности, так как одномерный закон распределения не содержит информации о взаимосвязи значений СВ в разных сечениях.

Для более полного описания СС необходимо рассматривать совокупность сечений СС как n-мерную случайную величину {X1,X2,…,Xn}. Для описания n-мерной случайной величины применяют n-мерный закон распределения.

W(x₁ x₂, …x_n) – n-мерная плотность вероятности.

Свойства n-мерной плотности.

- нормировка

- зная n-мерную плотность можно найти одномерную плотность в любом сечении

- статистическая независимость сечений. Два сечения называются статистически независимыми, если двумерная плотность равна произведению одномерных плотностей.

Если все сечения статически независимы, то

Заметим, что n-мерный закон распределения дает полное статистическое описание СС при n→∞.