Постановка задачи анализа прохождения сигнала через дф спектральным методом.
Как было показано в разделе 1 (параграф 11), применение временного метода анализа прохождения сигнала через ДФ связано с большими вычислительными трудностями (при большом числе отсчетов N число необходимых для нахождения отклика арифметических операций имеет порядок N2).
Чтобы исследовать возможности применения спектрального метода анализа, необходимо прежде всего обеспечить дискретное представление спектральных характеристик сигнала и частотных характеристик дискретного фильтра: ST(ω) и Н T(ω).
Поскольку основные соотношения, характеризующие преобразование Фурье дуальны, то есть позволяют заменять в них t на ω, и наоборот, ω на t, то по аналогии с теоремой отсчетов во временной области можно сформулировать теорему отсчетов в частотной области.
Спектральный метод анализа прохождения сигнала через дискретный фильтр.
Этот метод основан на свойстве ДПФ, называемом теоремой свертки: если сигнал s2T(t) представляет собой свертку дискретного сигнала s1T(t) и импульсной характеристики gT(t) дискретного фильтра, то дискретное преобразование Фурье для этой свертки {S2(k)} находится из соотношения
S2(k) = S1(k).H(k),
Где
H(k) – дискретное преобразование Фурье от импульсной характеристики ДФ,
{H(k)} – отсчеты комплексного коэффициента передачи ДФ
Порядок вычисления отклика ДФ на сигнал, заданный N своими дискретными отсчетами {S1(nT)} (n=0, 1, 2, 3, … , N -1), таков:
1) Для заданной последовательности {S1(nT)} вычисляются N спектральных коэффициентов S1(k) (k=0, 1, 2, 3, … , N -1)
2) Если задана последовательность отсчетов импульсной характеристики ДФ {g(nТ)}, то для нее находятся спектральные коэффициенты {H(k)}.
Если задан комплексный коэффициент передачи дискретного фильтра НТ(ω), то {H(k)} – его дискретные отсчеты.
3) Вычисляются произведения соответствующих спектральных коэффициентов
S1(k).H(k) = S2(k)
Где {S2(k)} – спектральные коэффициенты отклика ДФ.
4) По спектральным коэффициентам {S2(k)} находится обратное ДПФ
5) При необходимости по отсчетам {s2(nT)} находится дискретный сигнал
Заметим, что при вычислении спектральным методом число отсчетов N берется равным сумме необходимого числа отсчетов воздействия Ns1 и необходимого числа отсчетов импульсной характеристики Ng, то есть
N= Ns1+ Ng
Тогда недостающие отсчеты воздействия и импульсной характеристики считаются нулевыми.
Нетрудно показать, что для нахождения отклика ДФ спектральным методом
Требуется такое же число арифметических операций, что и при временном методе, то есть примерно N2. Так что вычислительные трудности при вычислении отклика фильтра в реальном масштабе времени при большом N остаются.
Выход из этой ситуации заключается в переходе от ДПФ к так называемому быстрому преобразованию Фурье (БПФ).