6. Импульсная характеристика оптимального (согласованного) линейного фильтра.

Форма импульсной характеристики оптимального фильтра повторяет зеркальное отражение входного сигнала.

Условие физической реализуемости оптимального фильтра :

1) Если сигнал начинается с нуля, то импульсная характеристика g_оф(t)=0, t≤0.

Следовательно, t₀≥T_c,

где, t₀ – задержка в оптимальном фильтре,

Т_с – длительность сигнала.

Мы не можем произвольно заказывать момент времени t₀, в котором будет максимально отношение сигнал-шум.

2) У физически реализуемых фильтров протяженность импульсной характеристики (время переходного процесса) всегда конечна, то есть величина Т_с конечна.

Следовательно, оптимальная фильтрация применима лишь для импульсных сигналов (сигналов конечной длительности).

7. Прохождение сигнала и шума через оптимальный линейный фильтр.

Найдем сигнал на выходе оптимального фильтра:

Форма выходного сигнала оптимального фильтра повторяет АКФ этого сигнала, то есть оптимальный линейный фильтр является коррелятором (устройство, вычисляющее АКФ входного сигнала).

Форма выходного сигнала не совпадает с формой входного сигнала, то есть при оптимальной фильтрации происходит искажение сигнала.

Если на фильтр, согласованный с сигналом s_вх(t), придет чужой сигнал, то оптимальный фильтр вычислит не АКФ, а ВКФ (взаимно корреляционная функция).

В частном случае:

Пиковое значение сигнала пропорционально энергии сигнала, а – коэффициент пропорциональности.

Найдем характеристики шума на выходе оптимального фильтра при воздействие на него белого шума.

Энергетический спектр шума на выходе оптимального фильтра повторяет по форме модуль спектральной характеристики сигнала для которого он создан.

АКФ шума на выходе

АКФ шума на выходе оптимального фильтра пропорциональна (повторяет по форме) АКФ сигнала, с которым согласован фильтр.

; σ²

Дисперсия шума на выходе (средняя мощность шума) пропорциональна энергии сигнала, с которым согласован фильтр.

Отношения сигнал/шум на входе оптимального фильтра:

8. Выигрыш в отношении сигнал-шум при оптимальной линейной фильтрации.

Введем понятие выигрыш в отношении сигнал-шум, получаемый при оптимальной фильтрации.

Числитель – отношение сигнал-шум по мощности на выходе оптимального фильтра.

Р_{с вых} – средняя мощность сигнала на выходе,

Р_{ш вых} – средняя мощность шума на выходе.

Знаменатель – отношение сигнал-шум по мощности на входе оптимального фильтра.

Р_{с вх} – средняя мощность сигнала на входе,

Р_{ш вх} – средняя мощность шума на входе.

Для сигнала с постоянной огибающей средняя мощность

,где Тс- длительность входного сигнала.

Формально мощность белого шума равна бесконечности, но в фильтр проходит только мощность в пределах полосы пропускания.

, где Т_с [Δf_{s вх}] – база входного сигнала (величина безразмерная).

Выигрыш в отношении сигнал-шум при оптимальной фильтрации численно равен базе входного сигнала, с которым согласован фильтр.

Как известно, все сигналы делятся на две группы, в зависимости от величины базы:

- простые Т_с[Δf_{s вх}]≈1,

- сложные Т_с[Δf_{s вх}]>>1.

Таким образом, выигрыш в отношении сигнал-шум получается только для сложных сигналов.

Для простых сигналов выигрыша нет, но нет и проигрыша, который получается при не оптимальном фильтре.

Пример: Т_с [Δf_{s вх}]=1000 тогда