14. Момент импульса материальной точки и системы материальных точек (относительно неподвижной точки, относительно неподвижной оси).

Моментом импульса (количества движения) материальной точки A относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением:

L=[rp] = [r mv], где г — радиус-вектор, проведенный из точки О в точку A; p = mv — импульс материальной точки); L — псевдо-вектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от г к р.

Модуль вектора момента импульса

L = rp sin a = mvr sin a =pl, где a — угол между векторами г и р, l — плечо вектора р относительно точки О.

Момент импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина L_z, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки О данной оси. Значение момента импульса Lz не зависит от положения точки О на оси г. При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси z каждая отдельная точка тела движется по окружности постоянного радиуса г, с некоторой скоростью Vi. Скорость Vi, и импульс miVi перпендикулярны этому радиусу, т. е. радиус является плечом вектора m,v,. Поэтому можем записать, что момент импульса отдельной частицы L_iz=m_ir_iv_i

и направлен по оси в сторону, определяемую правилом правого винта.

15. Уравнение динамики вращательного движения.

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц;

Используя формулу получим :

т. е.

Таким образом, момент импульса твердого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость.

Продифференцируем уравнение по времени:

Т. е.

Это выражение — еще одна форма уравнения (закона) динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса твердого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси.

16. Закон сохранения момента импульса, его связь с изотропностью пространства.

Закон сохранения момента импульса - момент импульса замкнутой системы тел относительно любой неподвижной точки не изменяется с течением времени.

Для замкнутой системы тел момент внешних сил всегда равен нулю, так как внешние силы вообще не действуют на замкнутую систему. Поэтому ,то есть или При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси z его кинетическая энергия равна половине произведения момента инерции относительно оси вращения на квадрат угловой скорости:

Из сравнения формул следует, что момент инерции – мера инертности тела при вращательном движении.

Уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси z (аналог второго закона Ньютона) имеет вид: где Lz – момент импульса твердого тела относительно оси z.

В основе закона сохранения момента импульса лежит изотропия пространства, т. е. одинаковость свойств пространства по всем направлениям (симметрия по отношению к повороту осей координат). Одинаковость следует понимать в том смысле, что поворот замкнутой системы, как целого, не отражается на её механических свойствах.