32. Дифференцирование функций заданных неявно

33. Производные и дифференциалы высших порядков, их вычисление.

Пусть производная некоторой функции f дифференцируема. Тогда производная от производной этой функции называется второй производнойфункции f и обозначается f". Таким образом,

f"(x) = (f'(x))'.

Если дифференцируема (n - 1)-я производная функции f, то ее n-й производной называется производная от (n - 1)-й производной функции f и обозначается f⁽ⁿ⁾. Итак,

f⁽ⁿ⁾(x) = (f^(n-1)(x))',   n ϵ N,   f⁽⁰⁾(x) = f(x).

Число n называется порядком производной.

Дифференциалом n-го порядка функции f называется дифференциал от дифференциала (n - 1)-го порядка этой же функции. Таким образом,

dⁿf(x) = d(d^n-1f(x)),   d⁰f(x) = f(x),   n ϵ N.

Если x - независимая переменная, то

dx = const   и   d²x = d³x = ... = dⁿx = 0.

В этом случае справедлива формула

dⁿf(x) = f⁽ⁿ⁾(x)(dx)ⁿ.

34. Формулировка и доказательство теоремы Ферма.

Если функция   имеет производную и в точке   имеет экстремум, то значение производной в этой точке равно 0.

Доказательство

Пусть   - точка минимума. Тогда при  . Значение выражения  . Значит,  . Рассмотрим теперь  , при этом также  , и выражение  . Значит, правая производная  . По теореме 14.5  . Из ранее доказанного следует:  . Теорема доказана.

35.Формулировка и доказательство теоремы Ролля.

Пусть:

1. Функция   непрерывна на отрезке  :  ;

2. Для любого x из интервала   существует производная:  ;

3. Значения функции на концах отрезка равны:  .

Тогда существует такое  , что производная  .

Доказательство

1. Функция непрерывна   существуют  .

2. Если  , то функция   является константой, и ее производная в любой точке равна 0, т.е. теорема доказана.

3. Если же  , то оба значения   не могут достигаться в концевых точках, т.к.   и  . Тогда хотя бы одно из них достигается во внутренней точке c, и, по теореме Ферма 17.1   

Замечания:

1. Существует хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции параллельна оси Ox (см. рисунок к теореме Ферма).

2. Все условия теоремы Ролля существенны, т.е. нельзя отбростиь хотя бы одно из них.

Первое следствие теоремы Ролля

Пусть:

1. Функция   непрерывна на отрезке  :  ;

2. Функция дифференцируема на интервале  :  ;

3. Сужествуют   такие, что  .

Тогда   такие, что  .

Доказательство

Рассмотрим отрезок  . Данный отрезок удовлетворяет всем требованиям теоремы Ролля. Тогда  .

Применив теорему Ролля k раз, доказываем данное следствие.

Второе следствие теоремы Ролля

Пусть:

1. Существует функция, имеющая n производных, непрерывных на отрезке  :  ;

2. Для любого x из интервала   существует n+1 производная:  ;

3. Значения  .

Тогда существует такая точка  .

Доказательство По теореме Ролля для   на отрезке    .

1. Рассмотрим отрезок  , на котором   непрерывна. Тогда существует производная   на интервале  . Так как  . Значит, существует точка   такая, что  . Рассмотрим отрезок  , на котором   непрерывна. Значит,  . На n-ном шаге имеем:  . Рассмотрим   на  . 

2. Функция непрерывна на  , значит, она непрерывна и на  :  ;

3. Для любого x из   существует n+1 производная:  ;

4. Значения ее на концах равны:  .

Данные 3 заключения удовлетворяют условию теоремы Ролля. Значит,  .

 

1. По теореме Ролля для   на отрезке    .

2. Рассмотрим отрезок  , на котором   непрерывна. Тогда существует производная   на интервале  . Так как  . Значит, существует точка   такая, что  . Рассмотрим отрезок  , на котором   непрерывна. Значит,  . На n-ном шаге имеем:  . Рассмотрим   на  . 

3. Функция непрерывна на  , значит, она непрерывна и на  :  ;

4. Для любого x из   существует n+1 производная:  ;

5. Значения ее на концах равны:  .

Данные 3 заключения удовлетворяют условию теоремы Ролля. Значит,  .