Глава 5. Синтез дискретных регуляторов

5.1. Дискретное предствление уравнений непрерывных типовых регуляторов

Идеализированное уравнение ПИД-регулятора имеет вид

, (5.1)

K  коэффициент передачи; T₁  постоянная интегрирования, T_Д  постоянная дифференцирования.

Для малых тактов квантования Т₀ это уравнение можно преобразовать в разностное с помощью дискретизации, состоящей в замене производной разностью первого порядка, а интеграла  суммой. Непрерывное интегрирование может быть заменено интегрированием по методу прямоугольников или трапеций. При использовании метода прямоугольников имеем

. (5.2)

Таким образом, мы получили нерекуррентный алгоритм управления. В нем для формирования суммы необходимо помнить все предыдущие значения сигнала ошибки е(t). Поскольку каждый раз значение управляющего сигнала u(k) вычисляют заново, этот алгоритм называют «позиционным».

Однако для программирования на ЭВМ более удобны рекуррентные алгоритмы. Эти алгоритмы отличаются тем, что для вычисления текущего значения управляющей переменной u(k) используют ее предыдущие значения u(k  1) и поправочный член. Для получения рекуррентного алгоритма достаточно вычесть из уравнения (5.2) следующее уравнение:

(5.3)

В результате получим

(5.4)

где

(5.5)

Теперь вычисляют только текущее приращение управляющей переменной и поэтому этот алгоритм называют «скоростным».

Следует отметить, что после небольшой модификации способа интегрирования в уравнении (5.2) под знаком суммы можно использовать значения е(k  1) вместо е(k). При этом коэффициенты q₀ и q₁ изменятся и не будут соответствовать коэффициентам, полученным в подразд. 5.2 для больших тактов квантования.

Если для аппроксимации интеграла использовать метод трапеций, то на основании уравнения (5.1) будет получено следующее соотношение:

(5.6)

Вычитая из него соответствующее уравнение для u(k–1), получим другое рекуррентное выражение, описывающее динамику дискретного закона управления:

u(k) = u(k – 1) + q₀e(k) + q₁e(k – 1) + q₂e(k – 2),

где

(5.7)

Для малых тактов квантования параметры q₀, q₁ и q₂ можно вычислить, используя параметры K, Т, и T_Д аналогового ПИД-ре-гулятора в соответствии с соотношениями (5.5) или (5.7).

5.2. Синтез алгоритмов управления низкого порядка

Рассмотрим контур управления, изображенный на рис. 5.1. Дискретная передаточная функция объекта управления с экстраполятором нулевого порядка имеет вид

(5.8)

Обобщенная дискретная передаточная функция линейного регулятора записывается как

(5.9)

Этот алгоритм может быть реализован, если р₀  0. Однако соотношение порядков числителя и знаменателя может быть различным: v   или v > . Обычно в таких регуляторах q₀  0, а значение р₀ выбирается равным 1.

В структурно синтезируемых регуляторах порядки числителя и знаменателя передаточной функции  и v являются функциями соответствующих порядков модели объекта. Например, для апериодических регуляторов v = m и n = m + d. Однако в параметрически оптимизируемых регуляторах порядок регулятора может быть меньше порядка модели объекта, v  m и   m + d. Следовательно, параметрически оптимизируемые регуляторы требуют меньших затрат машинного времени в процессе эксплуатации.

Рис. 5.1. Одноконтурная система управления

При выборе структуры параметрически оптимизируемых регуляторов обычно необходимо гарантировать, чтобы изменения задающей переменной w(k) и возмущений u_v(k) и n(k) (см. рис. 5.1) не приводили к появлению статической ошибки по сигналу e(k). На основании теоремы z-преобразования о конечном значении для выполнения этого условия необходимо, чтобы передаточная функция регулятора имела полюс z = l. Следовательно, простейшие алгоритмы управления v-гo порядка будут иметь следующую структуру:

(5.10)

При v = l и соответствующем выборе параметров получаем регулятор типа ПИ, при v = 2 – типа ПИД, при v = 3 – типа ПИД₂ и т. д. Разностное уравнение, описывающее регулятор с передаточной функцией (5.10), имеет вид

u(k) = u(k – 1) + q₀e(k) + q₁e(k – 1) + … + q_ve(k – v), (5.11)

Для получения хорошего качества процессов управления параметры q₀, q₁, q₂, …, q_v выбирают с учетом характеристик объекта.