5.4.2. Синтез по заданному расположению полюсов с помощью обратной связи по состоянию для нескольких управляющих сигналов

Метод синтеза систем с одним входным сигналом по заданному расположению полюсов с небольшим изменением можно распространить и на системы с несколькими входными сигналами. Рассмотрим систему

(5.106)

где x(kT)  n-мерный вектор; u(kT)  r-мерный вектор. Предполагается, что пара матриц [А, В] полностью управляема. Задача ставится следующим образом: найти такую матрицу G(r  п), чтобы при управлении

(5.107)

собственные значения матрицы A BG размещались в произвольно заданных точках на z-плоскости.

Представим себе систему с одним входом

(5.108)

и определим матрицу В^* размерностью n  1 как

(5.109)

где  имеет размерность r  1. Матрица w должна быть выбрана так, чтобы пара [А, В^*] была управляема. Тогда с помощью обратной связи

(5.110)

можно разместить собственные значения матрицы A B^*G^* в тех же точ­ках, что и собственные значения матрицы A BG. Следовательно, задача сводится к синтезу обратной связи по состоянию для системы с одним входом. Если будет найдена матрица обратной связи G^*, то G определим выражением

, (5.111)

поскольку

_{BG = B}^*_G^*_.

Очевидно, что в общем случае матрица  не является единственной. Требуется только, чтобы она удовлетворяла условию управляемости пары матриц [A, B]. Матрицу коэффициентов обратной связи G^* для одномерной модели можно определить, используя соотношение (5.111).

5.4.3. Синтез системы управления с обратной связью по выходу

Поскольку выходные сигналы системы всегда доступны измерению, их можно через постоянные коэффициенты завести обратно на вход и использовать для целей управления. Таким образом, обратную связь по выходу можно считать альтернативной неполной обратной связью по состоянию.

Рассмотрим систему

(5.112)

(5.113)

где x(kT), u(kT) и c(kT)  векторы размерностью n, r и p соответственно. Обратная связь по выходу определяется как

(5.114)

где G  матрица обратной связи по выходу размерностью r  р. Целью синтеза является определение такой матрицы G, при которой будут получены желаемые собственные значения замкнутой системы. Однако, поскольку в общем случае p  r  n, не все n собственных значений могут быть заданы произвольно. Покажем, что число собственных значений, которые могут быть заданы произвольно, зависит от рангов матриц D и В.

При синтезе системы с обратной связью по выходу можно воспользоваться тем же методом, что и в случае обратной связи по состоянию. Рассмотрим сначала случай единственного входного воздействия. Подставляя выражение (5.113) в (5.114), а затем в (5.112), получим

(5.115)

Последнее уравнение эквивалентно уравнению замкнутой системы с обратной связью по состоянию, в котором роль матрицы обратной связи играет произведение GD. Поэтому, если пара матриц [А, В] является полностью управляемой, решение для GD можно сразу получить, используя соотношение (5.107):

. (5.116)

Однако в общем случае матрицы D и DK не являются квадратными, поэтому выразить G непосредственно из двух последних уравнений не представляется возможным.

При единственном воздействии G имеет размерность 1  p,

D  p  n, а B  n  1, поэтому GD всегда представляет собой матрицу строку размерностью 1  n. Матрица D содержит р элементов, но только m из них соответствуют независимым параметрам, которые могут быть использованы для синтеза (здесь m  ранг матрицы G, причем m  p). Например, если

то ранг этой матрицы равен 2. Если при этом G = [g₁g₂g₃], то

т. е. матрица GD имеет только два независимых параметра. Это означает, что с помощью обратной связи по выходу могут быть произвольно заданы лишь два из трех собственных значений системы. В случае единственного входного воздействия, если ранг матрицы D равен n, т. е. порядку системы, обратная связь по выходу дает тот же результат, что и полная обратная связь по состоянию, а именно, если пара [A, B] управляема, то все собственные значения могут быть заданы произвольным образом.

Для системы с несколькими входами В имеет размерность n  r, тогда образуется матрица

где  имеет размерность r  1 и содержит r параметров, а значит В^* имеет размерность n  1. Аналогично

(5.117)

где

(5.118)

Тогда

(5.119)

и характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид

(5.120)

Матрицу G^*D можно определить, используя соотношение (5.119) или (5.120).

В отличие от случая с единственным входным воздействием, решение для коэффициентов обратной связи по выходу теперь зависит от рангов матриц D и В. В общем случае, если ранг матрицы D больше ранга матрицы В или равен ему, элементы матрицы  могут быть выбраны произвольно, разумеется, при условии управляемости пары [A, B]. Однако при ранге В, большем ранга матрицы D, уже нельзя произвольно выбирать все элементы матрицы , если требуется получить максимальное число заданных собственных значений замкнутой системы. При синтезе систем с обратной связью по состоянию такой проблемы не возникает, так как ранг D (D  единичная матрица размерностью n) всегда равен n, а ранг В не может быть больше n.