1.2. Геометрическое решение задач длп

Рассмотрим на плоскости следующую задачу дробно-линейного программирования:

Требуется найти максимум и минимум функционала

, (1.4)

при условии, что переменные и удовлетворяют следующей системе ограничений:

(1.5)

Т.е. для простоты изложения задача предполагается стандартной.

Из равенства (1.4) выразим :

, .

Откуда или где

Уравнение геометрически представляется прямой, проходящей через начало координат. При некотором фиксированном значении z угловой коэффициент k прямой будет фиксирован и прямая займет определенное положение. Если изменить значение z, то изменится k, и прямая повернется вокруг начала координат (рис.1).

Установим, как будет вести себя угловой коэффициент k при монотонном возрастании z. Для этого возьмём производную от k по z:

Знаменатель производной всегда положителен, а числитель от z не зависит. Следовательно, производная имеет постоянный знак, и при увеличении z угловой коэффициент будет или только возрастать, или только убывать, а прямая будет вращаться в одну сторону.

Обратно, при вращении прямой в одном направлении функционал z будет также или только увеличиваться, или только уменьшаться. Установив направление вращения для возрастания z, находим нужную вершину многогранника поворотом прямой вокруг начало координат.

Виды области допустимых решений.

Область допустимых решений, которая определяется системой ограничений, не обязательно имеет вид многоугольника, так как может быть неограниченной. Поэтому возможны следующие случаи:

1. Многогранник ограничен, максимум и минимум есть (рисунок 1).

Рис. 1

2. Область допустимых решений неограниченна, но существуют угловые точки, в которых целевая функция принимает максимальное и минимальное значения (рисунок 2).

Рис. 2

3. Область допустимых решений неограниченна, имеется один из экстремумов. При удалении точки A пересечение прямых уходит в бесконечность, т.е. когда луч станет параллелен ребру многогранника, получается так называемый асимптотический экстремум, который может быть как конечным так и бесконечным (рисунок 3).

Рис. 3

4. Область допустимых решений неограниченна. Максимум и минимум являются асимптотическими (рисунок 4).

Рис. 4

Пример 1.2. Графически решить задачу дробно-линейного программирования.

Решение. Строим на чертеже в определенном масштабе область решения задачи. Так как оптимум находится вращением разрешающей прямой вокруг начала координат, сразу можно сказать, что экстремальными точками будут вершины A и C.

На плоскости построим область решений системы ограничений задачи (многогранник решений). Для этого построим прямые линии, соответствующие ограничениям задачи:

1. 

2. 

3. 

4. 

x₂

(1)

(2)

3

А

(4)

2

В

С

(3)

0

1

6

x₁

Определим, где будет минимум, а где максимум.

Выразим из целевой функции :

Угловой коэффициент разрешающей прямой

Ищем производную:

Так как производная при любом z положительна, функция возрастающая, с увеличением z угловой коэффициент увеличивается. Это соответствует вращению прямой против часовой стрелки. Следовательно, в вершине С значение функционала будет наименьшим (минимум). При дальнейшем вращении прямой получим, что пересечение прямых уходит в бесконечность, т.е. мы получили асимптотический максимум. Практически же дело обстоит гораздо проще. Определим по рисунку экстремальные точки, из решения соответствующих уравнений получим их координаты, которые так или иначе необходимы. В нашем случае это одна точка С(6,2). Затем вычисляем нужные нам значение функционала в этой точке:

Поскольку мы получили асимптотический максимум, искать его будем следующим образом:

Выражаем x₁ из прямой (1) и находим предел . Получаем: