Вопрос №15 Определение и свойства скалярного произведения векторов.

Скалярным произведением векторов «а» и «в» называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

а*в = |а| * |в| * cosФ - угол между векторами «а» и «в»

Свойства:

1. а*в = в*а – свойство коммуникативности

2. р авенство 0 скалярного произведения свидетельствует о перпендикулярности этих векторов, и наоборот. а*в = 0 а в

3. Для любого вектора «а» произведение на самого себя = вектор «а»²

4. а(в+с) = а*в + а*с

5. (λ*а)в = λ(а*в)

Вопрос №16 Базис на плоскости и в пространстве. Декартовы прямоугольные системы координат на плоскости и в пространстве.

Базис на плоскости и в пространстве:

1. Если вектора «а» и «в» не коллинеарны, тогда совокупность векторов с=αа+βв называется двухмерным векторным пространством [Е²], вектора «а» и «в» - базисы этого пространства, числа α и β – координаты вектора «с» в этом базисе.

2. Если вектора «а», «в» и «с» не компланарны, то совокупность векторов d=αа+βв+γс назыв трехмерным пространством [Е³], где «а», «в» и «с» - базисы этого пространства, а числа α,β и γ – координаты вектора «d» в этом базисе.

Декартовы прямоугольные системы координат:

Под числовой осью будем понимать прямую линию, у которой задано направление, начало отсчета, единица длины и каждая её точка соответствует числу.

Р

М

N(x₁)

OM

P(y₁)

Y

X

0

E²

Рис.1 – представление вектора в прямоугольной Декартовой системе координат на плоскости.

ис.1

M₂(y₁)

Y

Р

X

0

Z

M

P

M₁(x₁)

M₃(z₁)

Рис.2 – представление вектора в прямоугольной Декартовой системе координат в пространстве.

ис.2

OX – абсцисс

OY – ординат

OZ - аппликант

Вопрос №17 Арифметический вектор и вектор в пространстве.

Арифметический вектор:

Арифметическим n-мерным вектором называется упорядоченный набор n-чисел:

X=(x₁, х₂, х₃ …. х_n)

Вектора «х» и «у» будут равны, если равны их координаты

Вектор «х» = «у» 

Вектора «х» и «у» являются коллинеарными, если их соответствующие координаты пропорциональны:

Вектор «х» || «у» 

Линейные операции:

1. При сложении (вычитании)2-ух векторов складываются (вычитаются) их соответствубщие координаты

2. При умножении вектора на число каждая координата вектора умножается на это число

Свойства линейных операций:

1. х+у = у+х – коммуникативность

2. х+(у+z) = (x+y)+z – ассоциативность

3. α(β*x) = (α*β) *x – ассоциативность

4. α(x+y) = αx+αy – дистрибутивность

5. (α+β)*x = αx+βx – дистрибутивность

6. 0=(0;0;…0) : x+0=x – существование нулевого вектора

7. –x: x+(-x)=0 – существование противоположного вектора

8. Для любого вектора при умножении 1 на этот вектор остается сам вектор. x*1=x

Множество векторов (арифметических) для которых выполняются указанные линейные операции, обладающие перечисленными 8-ю свойствами, называются векторным пространством.