Вопрос №50 Экстремумы функции. Необходимые и достаточные условия экстремумов функции.

Функция задана на промежутке от a до b. Возьмем некоторую окрестность точки из этого промежутка.

1. Точка х₀ называется точкой MAX функции если в некоторой окрестности этой точки f(x₀)>f(x)

2. Точка х₀ называется точкой MIN функции если в некоторой окрестности этой точки f(x₀)< f(x)

Значение функций в точках MAX и MIN называется соответственно максимумом и минимумом.

Максимум и минимум объединяют общим термином – экстремум функции.

Необходимые и достаточные условия экстремумов функции:

Для того, что бы функция имела экстремум в точке х₀, необходимо что бы её производная в этой точке =0, или не существовала. Такие точки называются «критическими» или «подозрительными на экстремум»

Из числа критических точек выделяют стационарные точки, те, в которых производная = 0

1 достаточное условие экстремума функции:

Если при переходе черех точку х₀ первая производная меняет знак с «+» на «-» то в точке х₀ максимум, а если с «-» на «+» о в точке х₀ минимум.

2 достаточное условие экстремума функции:

Применимо доя стационарных точек:

1. Если вторая производная в точке отрицательна, то это точка MAX

2. Если вторая производная в точке положительна, то это точка MIN

Вопрос №51

Наибольшее и наименьшее значение функции

Алгоритм:

1. Находится производная

2. Определяются критические точки

3. Вычисляется значение функции в критических точках

4. Вычисляется значение функции на концах промежутков(f(a) и f(b))

5. Выбирается наибольшее и наименьшее значение из 3 и 4 пунктов.

Вопрос №52

Выпуклость функции вверх Точки перегиба функции. Необходимые и достаточные условия перегиба функции.

Направления выпуклости. Кривая называется выпуклой вверх на промежутке если для двух любых других точек этого промежутка с абсциссами из этого промежутка, соединяющая их хорда всеми своими точками лежит ниже кривой.

1. Кривая выпукла вверх на заданном промежутке тогда и только тогда, когда её первая производная на этом промежутке монотонно убывает(возрастает)

Теорема: если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна(отрицательна) внутри заданного пром-ка, то фун-я выпукло вверх(вниз)

Точка перегиба графика непрерывной функции называется точка, которая разделяет интервалы выпуклости вверх и вниз.

Теорема 1. Необходимое условие перегиба:

Вторая производная дважды дифференцируемой функции в точке перегиба = 0.

Теорема 2. Достаточное условие перегиба:

Если вторая производная дважды дифферен. функции при переходе через точку х₀ меняет свой знак, то эта точка - точка перегиба.

Вопрос №53

Выпуклость функции вниз. Необходимые и достаточные условия выпуклости функции вниз.

???

Вопрос №54

Приложения производных: эластичность функции, правило Лопиталя.

Эластичность функции:

E_x(y) =

Частные случаи:

• |E_x(y)| <1 – не эластичная функция

• |E_x(y)| =1 – существует нейтральная эластичность (при умножении аргумента на 1% значение функции изменяется на 1%)

• |E_x(y)| >1 – эластичная функция

Правило Лопиталя:

Предел отношения двух бмв или ббв равно приделу отношения их производных, если последний существует: