Вопрос №46 Теорема Ферма (с доказательством)

Теорема: Если дифференцируемая на промежутке Х функция y = f(x) достигает своего наименьшего или наибольшего значения в точке х₀, то производная функция этой точки = 0.

Д

Δy = f(x₀+Δx) – f(x₀) ≥ 0 =>

≥ 0 (x>0) или

≤ 0 (x<0)

Т.к. функция дифференцируема на промежутке Х то значение производной не зависит от направления:

=

f`(x₀) = 0

ок-во:

y

f(x₀+Δx)

Х

0 Х₀ х₀+Δх

Вопрос №47 Теорема Ролля. Теорема Лагранжа.

Теорема Ролля:

Если функция y = f(x) удовлетворяет следующим условиям:

• Непрерывна на отрезке: f(x) принадл. C[a;b]

• Дифференцируема на интервале: f(x) принадл. D`(a;b)

• Значения на концах промежутков равны: f(а) = f(b)

тогда найдется хотя бы одна точка, £ принадлежащая (a;b), такая что f`(£) = 0

Теорема Лагранжа:

Пусть функция y = f(x) удовлетворяет условиям:

• f(x) принадл. C[a;b]

• f(x) принадл. D`(a;b)

тогда найдется хотя бы одна точка £ принадл. (a;b) такая что:

f`(£) =

Найдется хотя бы 1 точка, в которой касательная, проведенная к графику будет || к хорде , проведенная от начальной к конечной точке на этом промежутке.

Вопрос №48 Теорема Коши (с доказательством)

Теорема: Пусть функция y = f(x) удовлетворяет след.условиям:

• f(x) принадл. C[a;b]

• f(x) принадл. D`(a;b)

а так же существует функция g(x), которой удовлетвор. тем же условиям, а так же её производная ≠0 . тогда существует точка £ из промежутка (a;b) такая, что:

Док-во: F(x) = f(x) - (g(x) – g(a))

Проверим, выполняются ли условия для новой функции:

1. F(x) непрерывна на отрезке [a;b] по 1-му условию данной теоремы;

2. F(x) принадл. D`(a;b) по 2-му условию

3. F(a) = ( g(a) – g(a) )

F(a) = f(a)

F(b) = f(b) = ( g(b) – g(b))

F(b) = f(a)

По теореме Ролля найдем хотя бы 1 точку, где F`(x) = 0:

F`(£) = 0

F`(x) = f`(x) =

F`(£) =

F`( =

Поделив обе части на нулевую производную g в точке £ получаем доказываемое равенство.

Вопрос №49 Промежутки монотонности функции. Необходимые и достаточные условия монотонности функции. Необходимые и достаточные условия постоянства функции.

Пусть y = f(x) (a;b) выберем точки из этого промежутка.

х₀, x₁, x₂ принадл. (a;b) при этом x₂ > x₁

Теорема 1. Достаточное условие монотонности функции:

Если производная дифференцируема непрерывной функцией положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка (a;b), то она возрастает (убывает) на этом промежутке.

Докажем, что f(x₂) > f(x₁), если производная в точке £ > 0 , где £ принадл. [x_1; x₂]

Данная функция удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа.

F`(£) =

f(x₂) – f(x₁) = f`(£) (x₂-x₁)

f(x₂) – f(x₁) > 0

f(x₂) > f(x₁)

ч.т.д.

Теорема 2. Необходимые условия монотонности:

Если на заданном промежутке дифференцируемая функция убывает, то f`(x) < 0, и если возрастает, то f`(x) > 0 для любой точки из этого промежутка.

Теорема 3. Необходимые и достаточные условия постоянства функции:

Для того, что бы на заданном промежутке дифференцируемая функция сохраняла постоянное значение, необходимо и достаточно, чтобы f`(x) = 0 в каждой точке из этого промежутка.