Вопрос №41 Механический и экономический смысл производной

Механический смысл:

Пусть некоторая точка движется вдоль прямой не обязательно с постоянной скоростью. Тогда пройденное расстояние измеряется по закону S = S(t)

Необходимо вычислить скорость в момент времени t₀

V(t₀) - ?

V_ср =

Естественно полагать, что предельной формой V_ср при Δt→0 является скорость в момент времени t₀

V(t₀) = = S`(t₀)

Механический смысл производной – производная от закона S(t) = S

Экономический смысл:

Допустим, что объем произведенной продукции изменяется по закону U = U(t)

Необходимо вычислить производительность труда в момент Z(t₀)

За время от

t₀ до t₀+Δt

произведено продукции от

U₀ → U₀ + ΔU

тогда

Z_ср =

Z(t₀) = = U`(t₀)

Вопрос №42 Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику.

Геометрический смысл производной:

Под касательной к графику функции y = f(x) будем понимать предельное положение секущей при

M₁ → M₀ (т.е. при Δх→0)

y-y₀ = k(x-x₀) – уравнение прямой по точке с угловым коэффициентом.

Угловой коэффициент секущей М₀М₁ при М₁→М₀ стремится к угловому коэффициенту касательной.

k =

Геометрический смысл производной состоят в том, что она равна угловому коэффициенту касательной.

Уравнение касательной к графику:

y– y₀ = y`(x₀) (x-x₀)

Вопрос №43 Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала.

Дифференциал функции:

Дифференциалом функции y = f(x) в точке х₀ называется произведение производной в этой точке на произвольное приращение независимой переменной.

d_y| _x=x0 = d*f(x₀) = f`(x₀) *Δx

Дифференциация – это функция от двух переменных (х и Δх)

Геометрический смысл дифференциала:

[d] – это главная линейная часть приращения функции

d используется для приближенных вычислений сложных нелинейных функций.

Вопрос №44 Производные и дифференциалы высших порядков.

Дифференциалом второго порядка функции y = f(x) называется дифференциал от дифференциала первого порядка.

d²y= d(dy)

Диф. 2-го порядка называется дифференциал от дифференциала первого порядка.

d²y = d(d^n-1y)

d²y = d(f`(x))`d(x) = d*(f`(x))`dx = (f`(x))`dxdx = f``(x)dx²

Вторая производная – это производная от первой производной:

f``(x) =

Если функция n раз дифференцируема на каком либо промежутке Х то можно записать:

F(x) принадл. D⁽ⁿ⁾ (x)

Вопрос №45 Асимптота графика функций. Вертикальная и наклонная асимптоты. Условия существования вертикальной и наклонной асимптоты.

Плоской кривой будем называть график функции y = f(x) х принадл.[a;b]

Под графиком функции будем понимать множество точек на плоскости с абсциссами х и из области допустимых значений и ординатами y = f(x):

y

α

0

a b x

Асимптотой кривой называется прямая линия, расстояние которой от точки кривой линии →0 при бб отдалении от начала координат.

М

N

X

0

Асимптота, перпендикулярная к оси OX – называется вертикальной асимптотой.

Все остальные асимптоты образуют класс асимптот.

Теорема 1: Если функция y = f(x) определена проколотой окрестностью x₀ и существует хотя бы один из бб пределов:

f(x₀^-) = -∞ f(x₀^-) = +∞

f(x₀⁺) = +∞ f(x₀⁺) = +∞

тогда прямая х=х₀ является вертикальной асимптотой

Теорема 2: Если функция y = f(x) определена на очень больших значениях аргумента и существует 2 конечных предела:

1. 2. = b

То уравнение y = kx + b задает наклонную асимптоту.

y