Вопрос №38 Точки разрыва функции. Разрывы функции первого и второго рода.

Точка разрыва функции:

Если в точке х₀ функция y = f(x) не является непрерывной, то она имеет разрыв в этой точке. (геометрический смысл: график функции в этой точке и в её окрестности не явл непрерывной линией)

При этом функция должна быть определена в проколотой окрестности этой точки.

Разрывы функции первого и второго рода:

• Е

  y

  сли в точке х₀ функция имеет разрыв, при этом существует 2 конечных односторонних предела, тогда точка х₀ называется точкой разрыва второго рода.

π/2

-π/2

0

x

Y = arctg

f(0^-) = -

f(0⁺) =

D(f): x≠0

x≠0 – точка разрыва первого рода.

• Если в точке х₀ функция имеет разрыв, при этом хотя бы 1 из пределов бес. большой тогда точка х₀ называется точкой разрыва второго рода.

y = e^1/x-1

e^-∞ = = 0 бмв

= +∞ ббв

Точка х=1 называется точкой второго рода, тк предел в ней = +∞

Вопрос №39 Производная функции. Таблица производных. Правила дифференцирования.

Производная функция:

Производной функцией называют предел, отношение прирощения функции к прирощению аргумента при условии, что последнее → 0.

Таблица производных:

(с)` = 0

(x)` = 1

(xⁿ)` = n*x^n-1

(1/x)` = -1/x²

( )` = 1/2

(a^x)` = a^x ln a

(e^x)` = e^x

(sin x)` = cos x

(cos x)`= - sin x

(tg x)` = 1/(cos²x)

(ctg x)` = 1/(-sin² x)

(arcsin x)` = 1/ )

(arccos x)` = -1/( )

(arctg x)` = 1/(1+x²⁾

(arcctg x)` = -1/(1+x²)

( )` = 1/(x ln a)

(ln x)` = 1/x

Правила дифференцирования:

1. (С * U(x))` = C*U`(x)

2. (U(x) ± V(x))` = U`(x) ± V`(x)

3. (U(x) * V(x))` = U`(x)*V(x) + U(x)*V`(x)

4. (U(x) / V(x))` =

Вопрос №40 Односторонние производные. Класс дифференцируемых производных. Теорема о связи непрерывности и дифференцируемости функции.

Если существует конечный предел, когда приращение аргумента рассматривается с правой стороны ( ) то этот предел называется правой производной

Если существует конечный предел, когда приращение аргумента рассматривается с левой стороны ( ) то этот предел называется левой производной

Функция, имеющая производную в точке, называется дифференцируемой в этой точке.

Функция, имеющая правую(левую) производную в точке называется дифференцируемой справа(слева)

Функция, дифференцируемая в любой точке промежутка (а; b) называется дифференцируемой на этом промежутке.

Функция называется дифференцируемой на замкнутом промежутке [a;b] , если она дифференцируема на открытом промежутке (а;b), а так же слева в точке b и справа в точке а. Множество дифференцируемых функций в точке х₀ образует класс дифференцируемых функций в этой точке.

Теорема о связи непрерывности и дифференцируемости функции:

Если функция дифф-ма на заданном промежутке, то она является непрерывной на этом промежутке.

f(x) принадл. D`(a;b) = f(x) принадл. C(a;b)