
- •Вопрос №2 Линейные действия над матрицами
- •Вопрос №3 Свойства линейных операций над матрицами
- •Вопрос №4 Соответственные матрицы. Перемножение матриц.
- •Вопрос №5. Определитель матрицы. Определители квадратных матриц 1-го, 2-го и 3-го порядков.
- •Вопрос №6 Минор. Алгебраическое дополнение. Определитель квадратной матрицы произвольного порядка.
- •Вопрос №7 Обратная матрица. Необходимые условия существования обратной матрицы. Вычисление обратное матрицы.
- •Вопрос №8 Система линейных алгебраических уравнений(слау). Решение слау. Типы слау.
- •Вопрос №9 Матричная форма записи слау порядка n. Решение слау с помощью обратной матрицы.
- •Вопрос №10. Расширенная матрица слау. Элементарные преобразования расширенной матрицы слау.
- •Вопрос №11 Метод Гаусса для решения слау.
- •Вопрос №12 Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли.
- •Вопрос №13 Геометрический вектор. Нулевой и противоположный векторы. Модуль вектора. Коллинеарные и компланарные вектора.
- •Вопрос №14 Линейные операции над геометрическими векторами.
- •Вопрос №15 Определение и свойства скалярного произведения векторов.
- •Вопрос №16 Базис на плоскости и в пространстве. Декартовы прямоугольные системы координат на плоскости и в пространстве.
- •Вопрос №17 Арифметический вектор и вектор в пространстве.
- •Вопрос №18 Длина и скалярное произведение арифметических векторов. Приложение скалярного произведения для вычисления угла между векторами.
- •Вопрос №19 Прямая линия. Уравнения прямой на плоскости по точке и нормальному вектору.
- •Вопрос №20 Общее уравнение прямой. Частные случаи общего уравнения прямой.
- •Вопрос №21 Различные виды уравнения прямой линии на плоскости(уравнение прямой в отрезках, с угловым коэффициентом и др.)
- •Вопрос №22 Взаимное расположение прямых на плоскости. Угол между прямыми на плоскости. Условие параллельности прямых. Условие перпендикулярности прямых.
- •Вопрос №23 Плоскость. Нормальный вектор плоскости. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору.
- •Вопрос №24 Общее уравнение плоскости и его частные случаи. Уравнение плоскости в отрезках.
- •Вопрос №25 Проекция вектора на ось. Расстояние от точки до плоскости в пространстве.
- •Вопрос №26 Взаимное расположение плоскостей и прямых линий в пространстве. Углы между прямыми и плоскостями.
- •Вопрос №27 Общее уравнение кривой второго порядка. Нормальное и общее уравнение окружности. Уравнение параболы.
- •Вопрос №28 Числовые множества и операции над ними. Определение функции. Свойства функции.
- •2. Произведение (пересечение):
- •3. Разность:
- •Вопрос №29 Конечный предел функции в точке и при X→∞
- •Вопрос №32 Бесконечно малая и бесконечно большая величины. Теорема о связи бесконечно малых и бесконечно больших величин.
- •Вопрос №33 Свойства бесконечно малых и бесконечно больших величин.
- •Вопрос №34 Теоремы о пределах.
- •Вопрос №35 Первый замечательный предел (теорема с доказательством)
- •Вопрос №38 Точки разрыва функции. Разрывы функции первого и второго рода.
- •Вопрос №39 Производная функции. Таблица производных. Правила дифференцирования.
- •Вопрос №40 Односторонние производные. Класс дифференцируемых производных. Теорема о связи непрерывности и дифференцируемости функции.
- •Вопрос №41 Механический и экономический смысл производной
- •Вопрос №42 Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику.
- •Вопрос №43 Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала.
- •Вопрос №44 Производные и дифференциалы высших порядков.
- •Вопрос №45 Асимптота графика функций. Вертикальная и наклонная асимптоты. Условия существования вертикальной и наклонной асимптоты.
- •Вопрос №46 Теорема Ферма (с доказательством)
- •Вопрос №47 Теорема Ролля. Теорема Лагранжа.
- •Вопрос №48 Теорема Коши (с доказательством)
- •Вопрос №49 Промежутки монотонности функции. Необходимые и достаточные условия монотонности функции. Необходимые и достаточные условия постоянства функции.
- •Вопрос №50 Экстремумы функции. Необходимые и достаточные условия экстремумов функции.
Вопрос №1
Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матриц.
Определение
Определением матрицы размером m х n называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов. Числа, содержащиеся в матрице, называются элементами матрицы.
Структура матрицы:
А
mxn
=
Общий вид матрицы:
А
I = 1,m
J = 1,n
=
(aij)
Виды матриц:
Если матрица имеет 1 столбец – матрица-столбец.(m=1)
Если матрица имеет 1 сточку – матрица-строка.(n=1)
Матрица с одинаковым числом строк и столбцов – квадратная матрица. (m=n)
Квадратная матрица называется симметричной, если аij = аji
Элементы матрицы аij(при i=j)называются диагональными элементами
Диагональные элементы образуют главную диагональ
Квадратная матрица является диагональной, если элементы главн. диагонали не =0, а остальные =0.
Диагональная матрица явл. единичной, если у нее по диагонали стоят единицы.
Квадратная матрица называется верхне-треугольной, если все эл-ты, стоящие ниже главной диагонали,=0, и нижнее-треугольной, если эл-ты, стоящие выше главной диагонали, =0.
Нулевой матрицей называется матрица, состоящая только из нулей.
Если у матрицы поменять местами строки и столбцы, то получится транспонированная матрица.
Транспонированная матрица:
Транспонированной называется матрица, у которой поменяны местами строки и столбцы.
(первый столбец становится первой строкой, второй столбец второй строкой и т.д.)
Вопрос №2 Линейные действия над матрицами
Сумма:
Суммой матриц А и В одинаковой размерности называется матрица С такой же размерности, такая что:
С
mxn
mxn
mxn
С
i=
1,m
j =
1,n
i
= 1,m
j
= 1,n
Разность:
Разность матриц А и В вводится аналогично сумме, только знаки эл-тов матрицы В меняются на противоположные:
С
mxn
mxn
mxn
С
i=
1,m
j =
1,n
i
= 1,m
j
= 1,n
Произведение:
Пусть L – это число. Произведением L на А называется матрица С:
С
mxn
i=
1,m
j =
1,n
mxn
Вопрос №3 Свойства линейных операций над матрицами
1 закон – коммуникативный (переместительный) закон сложения матриц: А+В = В+А
2 закон – ассоциативный (сочетательный) закон сложения матриц: А+(В+С) = (А+В)+С
3 закон – сочетательный закон произведения чисел на матрицу: L*(β*A) = (L*β)*A где L и β – числа 4 закон – распределительный закон умножения числе на матрицу и матрицы на число: (L+β)*A = L*A + β*A; (A+B)*L = L*A + L*B
Вопрос №4 Соответственные матрицы. Перемножение матриц.
Соответственные матрицы:
mxn
nxp
А
* В – соответственные матрицы,
число столбцов матрицы А = числу строк
в матрице В
Произведение матриц:
Произведением матрицы А на матрицу В считается матрица С такая, что:
С
mxn
nxp
mxp
Сij = ai1 * b1j + ai2 * b2j + … ain * bnj = ais * bsj
Вопрос №5. Определитель матрицы. Определители квадратных матриц 1-го, 2-го и 3-го порядков.
Определитель:
Определителем (детерминантом) называется число, которое ставится в соответствие этой матрицы и вычисляется по определенному правилу.
Определители 1-го, 2-го и 3-го порядков:
1-й порядок
А
= (а11)
– определителем 1-го порядка называется
число, равное единственному элементу
этой матрицы: = det(А)
= |А| = |a11|=а11
2-й порядок
А
=
- определителем 2-го порядка называется
число, которое вычисляется по след.
плавилу:
=
det(A)=|A|=
=a11*a22
–
a12*a21
3-й порядок
А=
– определителем 3-го порядка называется
число, которое вычисляется по след.
правилу:
= det(A)=|A|= a11*a22*a33 + a12*a23*a31 + a21*a32*a13 – a31*a22*a13 – a21*a12*a33 – a32*a23*a11
Правило Сарруса:
a11
a12
a13
a21
a22
a23
a31
a32
a33
а
11
а12
а13
а
21
а22
а23
а31 а32 а33
Правило диагоналей:
+
-
а
(a11*a22*a33)+(a12*a23*a31)+(a13*a21*a32)
–
-(a31*a22*a13)
– (a32*a23*a11)
– (a33*a21*a12)
a11
a12
a13
a11
a12
а21
а22
а23
a21
a22
а31
а32
а33
a31
a32
а21 а22 а23 a21 a22
а31 а32 а33 a31 a32