1.10. Волновые уравнения для векторов

Рассмотрим волновые уравнения для случая однородной, изотропной среды. Даны уравнения Максвелла:

(1.57)

Задача заключается в решении уравнений Максвелла. Преобразуем уравнения (1.57) таким образом, чтобы получить отдельно уравнение для и отдельно уравнение для [1,6]. Для этого возьмём от первого уравнения и, используя второе уравнение, получим:

Учитывая, что соберём все члены, содержащие в левую часть, получим:

(1.58)

Аналогично для . Возьмём от второго уравнения и, используя первое, получим:

(1.59)

Уравнение (1.58) есть волновое уравнение для вектора , а (1.59) – волновое уравнение для вектора .

Правые части уравнений (1.58) и (1.59), которые выражаются через заданные функции и , достаточно сложны. Непосредственное решение уравнений (1.58) и (1.59) встречает большие трудности. Для того чтобы облегчить решение этих уравнений, вводятся вспомогательный вектор и функция, так называемые электродинамические потенциалы. При этом уменьшается число уравнений, правая часть их упрощается. После определения вспомогательных функций и определения через них и , не нужно устанавливать соответствие между ними.

Вспомогательными функциями бывают вектор-потенциал и скалярный потенциал, а также вектор Герца.

1.11. Вектор-потенциал и скалярный потенциал

Для облегчения решений уравнений Максвелла вводятся вспомогательные функции: вектор-потенциал и скалярный потенциал. Одним из уравнений Максвелла, которое всегда выполняется, является

^.

Это уравнение будет тождественно удовлетворяться, если положить

так как

где – новый пока произвольный непрерывный и имеющий производные вектор.

Вектор называется вектор-потенциалом и широко применяется в общих исследованиях электромагнитного поля.

Ограничимся рассмотрением сред, когда являются постоянными, т. е. среда – изотропная, однородная. В этом случае

т. е.

Следовательно, для изотропной однородной среды не только

но и

П

(1.60)

оэтому вместо вектора-потенциала вводится вектор :

Так как то т. е. мы получаем электрический вектор-потенциал.

Заметим, что как , так и вектор определяются неоднозначно.

Действительно, если имеем поле вектора , то оно может быть представлено в виде

где так как

где – скалярная произвольная непрерывная функция, имеющая производные.

Из курса математики известно, что результатом градиента является вектор, который определяется следующим образом:

а модуль этого вектора определяется:

Следовательно, если мы нашли вектор , удовлетворяющий уравнению (1.59), то всякий другой вектор тоже удовлетворяет уравнению (1.59).

Однако эта неоднозначность в определении вектора делает его удобным для вычислений, так как мы можем наложить ряд условий на вектор-потенциал, чтобы упростить вычисления.

Чему должен удовлетворять вектор-потенциал

Из первого уравнения Максвелла

используя уравнение (1.59), получим:

т. е.

Полученное уравнение будет выполняться при условии, если

^,

так как

где – произвольная скалярная функция, которая называется электрическим скалярным потенциалом.

Знак минус выбран потому, что данное уравнение должно выполняться и для постоянного поля, когда . В этом случае получаем

т. е. известное из курса физики положение, что напряжённость электрического поля есть минус градиент потенциала.

Следовательно,

(1.61)

.

Определим условия, которым должны удовлетворять и . Для этого используем второе уравнение Максвелла

Если в этом уравнении заменить и по формулам (1.60) и (1.61), то получим:

(1.62)

.

Напомним, что

– оператор Лапласа или лапласиан. Это скалярный дифференциальный оператор второго порядка;

– оператор Гальмитона или набла. Это векторный дифференциальный оператор первого порядка:

(1.63)

Теперь используем третье уравнение Максвелла

или

Применяя формулу (1.61) , получим:

Но

Следовательно,

Теперь имеем скалярные уравнения (1.62) и (1.63). Правая часть этих уравнений проста. Однако уравнение (1.62) очень громоздко. Но если использовать неоднозначность определения , уравнение упрощается, а именно: налагается дополнительное условие в виде . Это равенство называется уравнением связи. Отсюда

(1.64)

Подставив (1.64) в уравнение (1.63), получим

(1.65)

.

Соберём полученные результаты:

(1.66)

(1.67)

^.

При условии

(1.68)

^.

При этом векторы и определяются по формулам

(1.69)

Уравнение (1.68) называется уравнением связи или калибровочным уравнением. Из данных выражений следует, что решение задачи об электромагнитном поле сводится к решению типового уравнения (1.66) или (1.67) при условии выполнения (1.68). Векторы и определяются по формулам (1.69).

Уравнения (1.66) и (1.67) относятся к известным уравнениям математики – типовым волновым неоднородным уравнениям. Решения этих уравнений разработаны. Совокупное решение (1.66 – 1.69) будет единственно возможным, если оно будет удовлетворять начальным и граничным условиям поставленной физической задачи.