§ 8. Расхождение (дивергенция) вектора
Пусть имеем поле вектора (например, электрическое поле заряда). Вычислим поток Ф этого вектора через какую-либо замкнутую поверхность s
где
Аn
– нормальная составляющая вектора к
элементу ds
поверхности s
(кружок на знаке интеграла указывает,
что поверхность замкнута). Пользуясь
векторным изображением поверхности,
полагаем 
,
где
– единичный вектор внешней нормали к
элементу ds
замкнутой поверхности s.
Тогда
Будем теперь беспредельно уменьшать поверхность стягивания её на некоторую точку М внутри поверхности. При этом объём V, заключённый внутри поверхности, также будет беспредельно уменьшаться. Расхождение вектора в данной точке М обозначается символом div и определяется выражением
(11)
Таким образом, расхождение выражает собою объёмную плотность потока вектора в окрестности точки М и является мерой силы источников поля вектора в рассматриваемой точке.
Эта
интерпретация становится особенно
понятной, если вспомнить геометрическое
представление поля вектора векторными
линиями. Если числа векторных линий,
входящих в замкнутую поверхность и
исходящих из нее, одинаковы, т. е. внутри
поверхности не возникает ни одной новой
векторной линии и не исчезает ни одной,
вошедших внутрь, то поток вектора через
замкнутую поверхность s
будет равен нулю. Векторные поля, у
которых 
,
называются свободными от источников
или соленоидальными, так как в таком
поле векторные линии не могут нигде не
начинаться, ни кончаться и, следовательно,
образуют систему замкнутых кривых,
нигде не пересекающихся друг с другом.
Если в каждой точке пространства 
,
то в каждой точке имеем как бы источник
(положительный или отрицательный)
возникновения векторных линий и 
служит мерой обильности этих источников.
Если поверхность регулярна (а в остальном произвольна) и если векторная функция и её первые производные являются непрерывными функциями координат точек как в области V, так и на ограничивающей её поверхности s, то интересующий нас предел (11) может быть вычислен. При указанных условиях значение в окрестности точки М, на которую стягивается поверхность s, может быть выражена аналитически через значения и его производных в М (разложением в ряд Тейлора около точки М).
В прямоугольной системе координат это вычисление даёт
(12)
Следует иметь в виду важную формулу Остроградского, имеющую место при указанных ограничениях и его производных
(13)
дающую преобразование поверхностного интеграла в объёмный.
§ 9. Вихрь (ротор) вектора
Часто в поле вектора приходится вычислять интеграл от этого вектора по замкнутому контуру (см., например, теорему § 7, где вычислен такой интеграл для поля градиента). Интеграл вектора по замкнутому контуру обычно называется циркуляцией вектора.
Итак, рассмотрим выражение
Значение циркуляции вектора, очевидно, зависит от обхода контура; такой интеграл меняет свой знак при изменении направления обхода контура на противоположное. Однако по своему определению циркуляция вектора есть скаляр. Это вполне согласуется и с физическим смыслом циркуляции; например, в силовом поле интегралом вектора по кривой выражается работа силы на пути, совпадающим с этой кривой.
Возьмём точку М( в поле вектора и окружим её малым замкнутым плоским контуром l. Пусть s – площадка, ограниченная контуром l, и – единичный вектор нормали к этой площадке. Составляющей вихря вектора в точке М на направление называется предел отношения циркуляции вектора по контуру l к величине, охватываемой им площадки s, когда контур стягивается на точку М,
(14)
Таким образом, вводимый вектор обозначается символом rot , причём формула (14) даёт определение любой его проекции совершенно независимо от выбора координатной системы. Знак этой проекции зависит от направления обхода и, следовательно, нужно условиться о выборе направления обхода. Направление обхода должно выбираться так, чтобы (при применении правой системы координат) нормаль была направлена в ту сторону, откуда направление обхода кажется совершающимся против часовой стрелки.
Различным направлениям будут отвечать различные значения предела, выражаемого формулой (14).
Вектор rot имеет то направление , при котором достигается максимум значения этого предела, и равен по величине этому максимуму.
Если векторная функция и её первые производные непрерывны как внутри, так и на самом контуре, то интересующий нас предел может быть вычислен, так как значение в окрестности точки М, на которую сжимается контур l, может быть выражено аналитически через значения и его производных в точке М. В прямоугольной системе координат это вычисление даёт
(15)
С
(16)
где s – любая (регулярная) поверхность, опирающаяся на замкнутый контур l.