27. Статический момент плоской фигуры.
Статический момент площади плоской фигуры — сумма произведений элементарных площадей, входящих в состав площади фигуры, на алгебраические значения расстояний до некоторой оси. Sx=åyi×DFi= F×yc; Sy=åxi×DFi= F×xc.
Вспомогательные теоремы для определения положения центра тяжести:
Т.1. Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела находится на этой оси.
Т.2. Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то его центр тяжести находится в этой плоскости.
Т.3. Объем тела вращения, полученного вращением плоской фигуры вокруг оси, лежащей в плоскости фигуры, но не пересекающей ее, равен произведению площади фигуры на длину окружности, описанной ее центром тяжести, V=2pxcF.
Т.4. Площадь поверхности вращения, полученной вращением плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости этой кривой, но не пересекающей ее, равна произведению длины этой кривой на длину окружности, описанной ее центром тяжести, F=2pxcL.
Определяя положение центра тяжести плоской фигуры с вырезанной из нее частью, можно считать площадь этой части отрицательной и тогда: и т.д. — способ отрицательных площадей (объемов). Статический момент плоской фигуры относительно оси х или у может быть величиной ной, отрицательной и равной нулю, если ось проходит через тяжести плоской фигуры. [1]
Статический момент плоской фигуры относительно любой оси, проходящей через ее центр тяжести, равен нулю. На этом основании ось, относительно которой статический момент сечения равен нулю, является центральной. [2]
Статическими моментами плоской фигуры относительно каких-либо выбранных осей г, и z / j ( фиг. [3]
Следовательно, статический момент плоской фигуры относительно любой центральной оси равен нулю. [4]
Из равенства (1.66) следует важное свойство статического момента: статический момент плоской фигуры относительно центральной оси равен нулю. [5]
Из равенств (1.66) следует важное свойство статического момента: статический момент плоской фигуры относительно центральной оси равен нулю. [6]
Числители в этих формулах, равные алгебраическим суммам произведений площадей частей плоской фигуры на расстояния их центров тяжести до соответствующей оси, называют статическими моментами плоской фигуры относительно осей. [7]
Ось, проходящую через центр тяжести, называют центральной. Статический момент плоской фигуры относительно любой центральной оси равен нулю. [8]
Если начало координат поместить в центре тяжести площади ( хс 0, z / c 0), то статические моменты относительно осей х и у равны нулю. Следовательно, статический момент плоской фигуры относительно любой центральной оси равен нулю. [9]
Центр тяжести. Геометрические характеристики плоской фигуры.
- Центром тяжести твердого тела называется геометрическая точка, жестко связанная с этим телом, и являющаяся центром параллельных сил тяжести, приложенных к отдельным элементарным частицам тела (рисунок (а).
Р
адиус-вектор
этой точки
Рисунок (а)
Для однородного тела положение центра тяжести тела не зависит от материала, а определяется геометрической формой тела.
Если удельный вес однородного тела γ, вес элементарной частицы тела
Pk = γΔVk (P = γV) подставить в формулу для определения rC,
и
меем:
Откуда, проецируя на оси и переходя к пределу, получаем координаты центра тяжести однородного объема:
А
налогично
для координат центра тяжести однородной
поверхности площадью S:
Для координат центра тяжести однородной линии длиной L:
Способы определения координат центра тяжести
1. Аналитический (путем интегрирования).
2. Метод симметрии. Если тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.
3. Экспериментальный (метод подвешивания тела).
4. Разбиение. Тело разбивается на конечное число частей, для каждой из которых положение центра тяжести C и площадь S известны. Например, проекцию тела на плоскость xOy (рисунок 1.8) можно представить в виде двух плоских фигур с площадями S1 и S2 (S = S1 + S2). Центры тяжести этих фигур находятся в точках C1(x1, y1) и C2(x2, y2). Тогда координаты центра тяжести тела равны:
Рисунок 1.8
5. Дополнение (метод отрицательных площадей или объемов). Частный случай способа разбиения. Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны. Например, необходимо найти координаты центра тяжести плоской фигуры (рисунок 1.9):
Рисунок 1.9