Сложе́ние по мо́дулю 2 (логи́ческое сложе́ние, исключа́ющее «ИЛИ», строгая дизъюнкция, XOR, поразрядное дополнение,побитовый комплемент) — булева функция, а также логическая ибитовая операция. В случае 2 переменных результат выполнения операции является истинным тогда и только тогда, когда лишь один из аргументов является истинным. Для функции трёх и более переменных результат выполнения операции будет истинным только тогда, когда количество аргументов равных 1, составляющих текущий набор - нечетное. Такая операция естественным образом возникает в кольце вычетов по модулю 2, откуда и происходит название операции.

Сложение по модулю 2 следует отличать от простого сложения, которое соответствует обыкновенному неисключающему «или» (логической дизъюнкции).

В теории множеств сложению по модулю 2 соответствует операциясимметричной разности двух множеств.

38 Проблема криптографической защиты информации; понятие шифрования

Шифрова́ние — обратимое преобразование информации в целях сокрытия от неавторизованных лиц, с предоставлением, в это же время, авторизованным пользователям доступа к ней. Главным образом, шифрование служит задачей соблюдения конфиденциальности передаваемой информации. Важной особенностью любого алгоритма шифрования является использование ключа, который утверждает выбор конкретного преобразования из совокупности возможных для данного алгоритма.^[1][2]

• Криптография — наука о создании безопасных методов связи, о создании стойких (устойчивых к взлому) шифров. Она занимается поиском математических методов преобразования информации. сложность управления ключами в большой сети. Означает квадратичное возрастание числа пар ключей, которые надо генерировать, передавать, хранить и уничтожать в сети. Для сети в 10 абонентов требуется 45 ключей, для 100 уже 4950, для 1000 — 499500 и т. д.

• сложность обмена ключами. Для применения необходимо решить проблему надёжной передачи ключей каждому абоненту, так как нужен секретный канал для передачи каждого ключа обеим сторонам.

39 Шифры замены. Шифр Цезаря и шифр Вижинера как частные случаи шифров замены.

Шифр простой замены, простой подстановочный шифр, моно алфавитный шифр — класс методов шифрования, которые сводятся к созданию по определённому алгоритму таблицы шифрования, в которой для каждой буквы открытого текста существует единственная сопоставленная ей буква шифр-текста

шифра Цезаря - каждый символ текста заменяется на некоторый другой, причём одинаковые символы заменяются одинаково. Если данный символ - k-ый в N-символьном алфавите, то он заменяется (k + C) mod N - ым символом алфавита. Нумерация символов начинается с нуля - не очень привычно для не прогеров, но что поделать... Здесь C - ключ шифра. 

в шифре Виженера мы имеем дело с последовательностью сдвигов, циклически повторяющейся. 

40. Перестановочные шифры.

Простой перестановочный шифр с фиксированным периодом n подразумевает разбиение исходного текста на блоки по n символов и использование для каждого такого блока некоторой перестановки E. Ключом такого шифра является используемая при шифровании перестановочная матрица P или вектор t, указывающий правило перестановки. 

40. Криптоанализ.

Криптоанализ (от др.-греч. κρυπτός — скрытый и анализ) — наука о методах расшифровки зашифрованной информации без предназначенного для такой расшифровки ключа

В большинстве случаев под криптоанализом понимается выяснение ключа; криптоанализ включает также методы выявления уязвимости криптографических алгоритмов или протоколов.

42 Криптостойкость.

Криптографическая стойкость (или криптостойкость) — способность криптографического алгоритма противостоятькриптоанализу. Стойким считается алгоритм, который для успешной атаки требует от противника недостижимых вычислительных ресурсов, недостижимого объёма перехваченных открытых и зашифрованных сообщений или же такого времени раскрытия, что по его истечению защищенная информация будет уже не актуальна, и т. д.

43 Методы замены.

 неопределенный интеграл F(x) некоторой функции f(x). Для упрощения вычисления интеграла часто удобно выполнить замену переменной. Переход от x к новой переменной u описывается выражением

где x = g (u) - подстановка. Соответственно, обратная функция u = g ⁻¹(x) описывает зависимость новой переменной от старой. 

44. Методы перестановки.

45 Аналитические методы шифрования

Для шифрования информации могут использоваться аналитические методы преобразования. Наибольшее распространение получили методы шифрования, основанные на использовании матричной алгебры. Зашифрование k-го блока исходной информации, представленного в виде вектора B_k = ||bj|| , осуществляется путем перемножения матрицы-ключа А=||a_ij|| и вектора B_k. В результате перемножения получается блок шифртекста в виде вектора C_k = ||c_i||, где элементы вектора С_k определяются по формуле: , где а_ij – элементы матрицы-ключа; b_j – блоки исходного текста. Расшифрование информации осуществляется путем последовательного перемножения векторов С_k; и матрицы А^-1 , обратной матрице А.

47 Принцип метода математической индукции.

Математическая индукция — метод математического доказательства, используется чтобы доказать истинность некоторого утверждения для всех натуральных чисел. Для этого сначала проверяется истинность утверждения с номером 1 — база (базис) индукции, а затем доказывается, что, если верно утверждение с номером n, то верно и следующее утверждение с номером n + 1 — шаг индукции, или индукционный переход.

49 Понятие неориентированного графа.

Неориентированным графом (undirected graph)   называется пара  , где   — множество вершин, а   — множество рёбер.

Неориентированным графом   называется тройка   , где  , а   и   — некоторые множества, причем 

50 Способы задания графа.

Графы принято изображать рисунками, состоящими из точек, называемыми вершинами, и линий, называемыми дугами, соединяющими две вершины графа.

Форма дуг несущественна, важен только сам факт соединения вершин. Дуги могут пересекаться, но точки пересечения не являются вершинами графа.

 Если дуги имеют направление (ориентацию), отмеченное стрелкой, то такие графы называются ориентированными или орграфами. Дуги графа часто называют ребрами.

51 Матрица смежности

Матрица смежности — один из способов представления графа в виде матрицы.

Матрица смежности графа G с конечным числом вершин n (пронумерованных числами от 1 до n) — это квадратная матрицаA размера n, в которой значение элемента a_ij равно числу рёбер из i-й вершины графа в j-ю вершину.

Иногда, особенно в случае неориентированного графа, петля (ребро из i-й вершины в саму себя) считается за два ребра, то есть значение диагонального элемента a_ii в этом случае равно удвоенному числу петель вокруг i-й вершины.

Матрица смежности простого графа (не содержащего петель и кратных ребер) является бинарной матрицей и содержит нули на главной диагонали.

52 Путь в графе. Цикл в графе. Связный граф

Путь в графе G = (V,E) последовательность вершин при , таких, что две любые последовательные вершины соединены хотя бы одной дугой из E. Число k вершин в пути называется его длиной. Каждая из пар двух последовательных вершин называется его звеном

Циклом называется путь, в котором совпадают его начальная и конечная вершины

Связный граф — граф, содержащий ровно одну компоненту связности. Это означает, что между любой парой вершин этого графа существует как минимум один путь

53. Компоненты связности графа. Степень вершины. Теорема о сумме степеней вершин графа.

Компонента связности графа — некоторое множество вершин графа такое, что для любых двух вершин из этого множества существует путь из одной в другую, и не существует пути из вершины этого множества в вершину не из этого множества.

Степень вершины (англ. degree, также валентность, англ. valency) в теории графов — количество рёбер графа  , инцидентных вершине  . При подсчёте степени ребро-петля учитывается дважды.^[1] Степень вершины обозначается как   (в западных источниках —  ). Максимальная и минимальная степень вершин графа G обозначаются соответственно Δ(G) и δ(G). 

Сумма степеней всех вершин графа есть четное число, равное удвоенному количеству ребер

53. Полный граф; формула количества рёбер в полном графе.

Полный граф — простой граф, в котором каждая пара различных вершин смежна. Полный граф с   вершинами имеет   рёбер и обозначается . Является регулярным графом степени  .

53. Алгоритм фронта волны в графе. Методика выделения компонент связности в графе.

алгоритм нахождения числа компонент связности, а также выделения этих компонент на неориентированном графе. Подобным образом решается задача и для ориентированного графа. В основу рассматриваемого алгоритма выделения компонент связности положена описанная ранее техника поиска в глубину на графе Г(X,U,Ф). Структура алгоритма . является модификацией в сторону упрощения основного алгоритма поиска в глубину. Работа алгоритма направлена на формирование вектора Mark[x] меток вершин x   X графа. Элементу Mark[x] присваивается общий номер той компоненты, которой принадлежит вершина x   X. Сложность алгоритма как и алгоритма составляет O(|X|+|U|).

56 Мосты и разделяющие вершины (точки сочленения).

Вершину зовут разделяющей, если ее удаление увеличивает число компонент графа; ребро, обладающее этим свойством, зовут мостом. Как правило, вершины, инцидентные мосту, являются разделяющими за исключением, если одна из вершин ребра является концевой.  Теорема: вершина V графа является разделяющей, если существуют такие две вершины, что любая цепь, их соединяющая, проходит через вершину V

Точка сочленения графа — вершина   графа  , при удалении которой граф   имеет большекомпонент связности, чем исходный граф  .

57. Эйлеровы графы. Теорема Эйлера (критерий эйлеровости графа).

Эйлеров граф — граф, содержащий эйлеров цикл.

Теорема Эйлера: критерий эйлеровости конечного графа Конечный неорграф эйлеров, если он связен и степени всех его вершин четны

59. Гамильтоновы графы. Плоские графы. Грани плоской укладки плоского графа

Гамильтонов граф — в теории графов это граф, содержащий гамильтонову цепь или гамильтонов цикл

Плоский граф — граф, уложенный на плоскость. Граф называется планарным, если он изоморфен некоторому плоскому графу.

59. Соотношения между количествами вершин, рёбер и граней в плоском графе. Примеры неплоских графов.

Для связного плоского графа справедливо следующее соотношение между количеством вершин  , ребер   и граней   (включая внешнюю грань):

Примером неплоского графа может служить полный граф с пятью вершинами! Любые попытки начертить его плоское представление обернуться неудачей!

59. Деревья и их свойства. Кодирование Пруфера для деревьев с пронумерованными вершинами.

 Деревом называется связный граф, не содержащий циклов. Любой (в том числе несвязный) граф без циклов называется ациклическим. Несвязный граф, каждая компонента связности которого является деревом, называется лесом. 

59. Понятие ориентированного графа (орграфа). Способы задания орграфа. Матрица смежности для орграфа. Степень входа и степень выхода вершины. Источник. Сток.

 Связи эти могут быть "направленными", как, например, в генеалогическом древе, или "ненаправленными" В соответствии с этим в теории графов выделяют два основных типа графов: ориентированные

теории графов квадратные матрицы смежности орграфов размера n n обозначаются буквой A как и для графов. Элемент A(j,k) матрицы смежности орграфа равен единице, если существует дуга из вершины j в вершину k и равен нулю в противном случае. 

Строка матрицы смежности орграфа задаёт начало дуги, а столбец – конец дуги. Матрица смежности орграфа симметрична только в том случае, если каждая двойка смежных вершин связана симметричной парой дуг. Матрица смежности любого орграфа является булевой, то есть состоит только из нулей и единиц. 

59. Ориентированный путь. Ориентированный цикл (контур)

ориентированный граф G = (V,E) есть пара множеств, где V — множество вершин (узлов), E — множество дуг (ориентированных рёбер). Дуга — это упорядоченная пара вершин (v, w), где вершину v называют началом, а w — концом дуги. Можно сказать, что дуга v → w ведет от вершины v к вершине w, при этом вершина w смежная с вершиной v.

Ориентированным графом-циклом называется ориентированная версия графа-цикла, в котором все дуги направлены в одном и том же направлении.

64Понятие достижимости одной вершины из другой вершины в орграфе-нету!!!

65. Множество достижимости вершины. Матрица достижимости

Матрица достижимости простого ориентированого графа   — бинарная матрица замыкания по транзитивности отношения   (оно задаётся матрицей смежности графа). Таким образом, в матрице достижимости хранится информация о существовании путей между вершинами орграфа.

Достижимость ) — бинарное отношение   на множестве вершин графа такое, что   тогда и только тогда, когда в графе существует путь из   в 

.Достижимая вершина. От одной вершины к другой может быть несколько различных путей, кратчайший из них называется геодезической линией. Множество вершин, достижимых из данной вершины  , называется множеством достижимости вершины  . Орграф является односвязным, если в любой паре вершин по крайней мере одна из них является достижимой из другой.

65. Бесконтурные орграфы. Теорема о существовании источника и стока в бесконтурном орграфе.

Ациклический граф — граф без циклов.

67 Эйлеровы орграфы. Критерий эйлеровости орграфа. Гамильтоновы орграфы.

Эйлеров-орграф() - орграф, в котором есть эйлеров контур; для того чтобы орграф был эйлеровым необходимо и достаточно, чтобы в каждой вершине полустепень захода равнялась полустепени исхода.

Гамильтоновы графы: Цикл с в графе g называется Гамильтоновым циклом, если с проходит без повторов вершин через все вершины графа g. Граф g – Гамильтонов, если g имеет Гамильтонов цикл.

68. Понятие ориентированного дерева.

 Ориентированным деревом называют бесконтурный ориентированный граф, у которого полустепень захода любой вершины не больше 1 и существует ровно одна вершина, называемая корнем ориентированного дерева, полустепень захода которой равна 0.

68. Понятие бинарного дерева. Дисбаланс вершины в бинарном дереве

Бинарное (или двоичное) дерево — это непустое конечное множество узлов, накотором определена структура, обладающая следующими свойствами:

1. Имеется один выделенный узел г, называемый корнем данного бинарногодерева.

2. Остальные узлы (исключая корень) содержатся в двух

непересекающихсямножествах (поддеревьях) — левом и правом, каждое из которых, в своюочередь, либо пусто, либо является бинарным деревом.

На первый взгляд может показаться, что бинарное дерево — это частный слу-чай упорядоченного ориентированного дерева, в котором у каждого узла не бо-лее двух смежных. Но это не так, бинарное дерево не является упорядоченнымордеревом. Дело в том, что даже если у некоторого узла бинарного дерева име-ется только одно непустое поддерево, то всё равно известно, какое именно этоподдерево: левое или правое.

68. Основные элементы комбинаторики. Перестановки. Размещения. Сочетания

комбинаторика – раздел математики, в котором изучается, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

 Перестановкой множества из   элементов называется расположение элементов в определенном порядке.

Размещениями множества из   различных элементов по   элементов   называются комбинации, которые составлены из данных   элементов по   элементов и отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов.

Сочетаниями из   различных элементов по   элементов называются комбинации, которые составлены из данных  элементов по   элементов и отличаются хотя бы одним элементом (иначе говоря,  -элементные подмножества данного множества из  элементов).

68. Базовые множества для автомата: входной алфавит, выходной алфавит, множество состояний