Задача № 7

В ящике 6 белых, 7 красных и 3 черных шара. Какова вероятность того, что вынутые 2 шара окажутся разного цвета?

Решение

Общее число различных вариантов извлечения 2-х шаров из данных (6+7+3)=16-ти шаров:

Два извлечённых шара будут разного цвета, если один шар будет белый, другой – красный; один – белый, другой – чёрный; один – красный, другой – чёрный. Соответствующее число различных вариантов извлечения шаров:

Искомая вероятность:

Ответ: 0,675.

Задача № 14

Экспедиция издательства отправила газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0,95, во второе — 0,9, в третье — 0,8. Найти вероятность того, что два отделения получат газеты вовремя, а одно — с опозданием.

Решение

Пусть p_i – вероятность своевременной доставки газеты в i-ое отделение. Тогда вероятность того, что в i-ой отделение газета не будет доставлена вовремя: q_i = 1 – p_i.

Тогда вероятность того, что два отделения получат газеты вовремя, а одно — с опозданием:

Ответ: 0,283.

Задача № 21

На предприятии 30% приборов монтируется с применением микромодулей, остальные — с применением интегральных схем. Надежность прибора с применением микромодулей — 0,9,  интегральных схем — 0,85. Найти:

• вероятность надежной работы наугад взятого прибора;

• вероятность того, что прибор был монтирован с интегральной схемой, если он исправен.

Решение

Пусть Н₁ = {Прибор монтировался с применением микромодулей},

H₂ = {Прибор монтировался с применением интегральных схем},

A = {Прибор работал надёжно}.

По условию имеем вероятности:

а) Вероятность надёжной работы наугад взятого прибора (по формуле полной вероятности):

б) Вероятность того, что прибор был монтирован с интегральной схемой, если он исправен (по формуле Байеса):

Ответ: а) 0,865; б) 0,688.

Задача № 38

В партии 10% нестандартных деталей, т.е. вероятность появления нестандартных деталей одинакова и равна 0,1. Наудачу отобраны 4 детали. Определить ряд распределения, построить многоугольник распределения, функцию распределения случайной величины Х — числа нестандартных деталей среди четырех отобранных. Найти математическое ожидание и дисперсию.

Решение

Возможные значения СВ Х: 0; 1; 2; 3; 4. Вероятность появления нестандартной детали в каждом испытании равна р=0,1. Находим вероятности соответствующих значений СВ Х по формуле Бернулли:

Строим ряд распределения СВ Х.

xi	0	1	2	3	4
pi	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

Проверка:

Строим многоугольник распределения.

Для построения функции распределения F(x) составим вспомогательную таблицу.

xi	0	1	2	3	4
pi	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001
∑pi	0,6561	0,9477	0,9963	0,9999	1

Функция распределения СВ Х:

Строим график функции F(x).

Для определения числовых характеристик СВ Х составим расчётную таблицу.

xi	pi	xipi
0	0,6561	0	0
1	0,2916	0,2916	0,2916
2	0,0486	0,0972	0,1944
3	0,0036	0,0108	0,0324
4	0,0001	0,0004	0,0016
∑	1	0,4	0,52

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение:

Математическое ожидание и дисперсию можно найти иначе:

Задача № 41

Приводятся результаты наблюдений (x_i, y_i) над двумерной величиной (Х, Y). Используя эти экспериментальные данные, необходимо:

1) построить корреляционное поле. По характеру расположения точек на корреляционном поле подобрать математическую модель регрессионной зависимости Y от X и X от Y;

2) определить числовые характеристики ;

3) написать выборочные уравнения прямых линий регрессии Y на X и X на Y и построить их графики;

4) вычислить коэффициент корреляции.

x y	10	20	30	40	ny
20	1				1
40	4	1			5
60	1	15	1		17
80		2	13		15
100			2	1	3
120				9	9
nx	6	18	16	10	n = 50

Решение

По данной таблице находим координаты экспериментальных точек:

Строим корреляционное поле по найденным точкам.

D

C

B

A

По расположению точек на корреляционном поле видно, что связь между X и Y является линейной. Поэтому уравнение регрессии Y на X следует искать в виде: Y = aX + b.

Для определения числовых характеристик двумерной случайной величины составим расчётную таблицу.

X	nx	Xnx	X2nx	Y	ny	Yny	Y2ny
10	6	60	600	20	1	20	400
20	18	360	7200	40	5	200	8000
30	16	480	14400	60	17	1020	61200
40	10	400	16000	80	15	1200	96000
∑	50	1300	38200	100	3	300	30000
				120	9	1080	129600
				∑	50	3820	325200

Числовые характеристики выборки:

Выборочный коэффициент линейной корреляции:

Уравнение прямой линии регрессии Y на Х:

Уравнение прямой линии регрессии X на Y:

Строим линии (1) и (2) и экспериментальные точки.

(1)

C

B

Задача № 4

В урне 14 красных и 8 черных шаров. Найти вероятность того, что из пяти взятых наугад шаров красных будет не более двух.

Решение

Всего в урне (14+8)=22 шара. Число различных вариантов извлечения из урны 5-ти шаров:

Число различных вариантов извлечения 5-ти шаров, когда среди них будет красных шаров:

- ноль:

- один:

- два:

Следовательно, число различных вариантов извлечения 5-ти шаров, когда среди них красных шаров будет не более двух:

Искомая вероятность:

Ответ: 0,2329.

Задача № 13

Три стрелка стреляют по одной мишени. Вероятность попадания каждого из стрелков соответственно равны р₁ = 0,4; р₂ = 0,5; р₃ = 0,7. Найти вероятность того, что в результате одновременного выстрела в мишени будет:

• ровно одна пробоина;

• хотя бы одна пробоина.

Решение

Вероятность промаха i-го стрелка:

1) Вероятность того, что в мишени будет ровно одна пробоина:

2) Вероятность того, что не будет ни одного попадания:

Тогда вероятность наличия хотя бы одной пробоины:

Ответ: 1) 0,36; 2) 0,91.

Задача № 25

В дисплейном классе имеется 10 персональных компьютеров первого типа и 25 — второго. Вероятность того, что за время работы на компьютере первого типа не произойдет сбоя, равна 0,95, а на компьютере второго типа — 0,8. Найти вероятность того, что:

• на случайно выбранном компьютере за время работы не произойдет сбоя;

• компьютер, во время работы на котором не произошло сбоя, - второго типа.

Решение

Пусть Н₁ = {Компьютер принадлежит к первому типу}, H₂ = {Компьютер принадлежит ко второму типу}, A = {На компьютере не произойдёт сбоя}.

По условию имеем вероятности:

а) Вероятность того, что на случайно выбранном компьютере за время работы не произойдет сбоя (по формуле полной вероятности):

б) Вероятность того, что компьютер, во время работы на котором не произошло сбоя, - второго типа (по формуле Байеса):

Ответ: а) 0,8429; б) 0,6779.

Задача № 32

Дана дискретная случайная величина Х. Построить: 1) ряд распределения; 2) многоугольник распределения; 3) функцию распределения F(x). Рассчитать: 1) математическое ожидание; 2) дисперсию; 3) среднее квадратическое отклонение.

Партия из 20 изделий содержит 5 бракованных. Из партии выбирают 5 изделий. Х — число бракованных изделий, содержащихся в случайной выборке.

Решение

Возможные значения СВ Х: 0; 1; 2; 3; 4; 5.

Находим соответствующие вероятности:

Строим ряд распределения СВ Х.

Проверка:

Строим многоугольник распределения.

Для построения функции распределения составим вспомогательную таблицу.

Функция распределения:

Строим график функции F(x).

Для определения числовых характеристик СВ Х составим расчётную таблицу.

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение:

Задача № 47

Приводятся результаты наблюдений (x_i, y_i) над двумерной величиной (Х, Y). Используя эти экспериментальные данные, необходимо:

1) построить корреляционное поле. По характеру расположения точек на корреляционном поле подобрать математическую модель регрессионной зависимости Y от X и X от Y;

2) определить числовые характеристики ;

3) написать выборочные уравнения прямых линий регрессии Y на X и X на Y и построить их графики;

4) вычислить коэффициент корреляции.

P.S. В условии исправлена опечатка, так как по исходным данным методички получаем:

Решение

По данной таблице находим координаты экспериментальных точек:

Строим корреляционное поле по найденным точкам.

E

По расположению точек на корреляционном поле видно, что связь между X и Y является линейной, так как точки группируются около прямой линии. Поэтому уравнение регрессии Y на X следует искать в виде: Y = aX + b.

Для определения числовых характеристик двумерной случайной величины составим расчётную таблицу.

Числовые характеристики выборки:

Выборочный коэффициент линейной корреляции:

Уравнение прямой линии регрессии Y на Х:

Уравнение прямой линии регрессии X на Y:

Строим линии (1) и (2) и экспериментальные точки.

E

(1)

Задание 2. В партии из 15 радиоприемников 5 неисправных. Для проверки наугад выбрали 3 радиоприемника. Найти вероятность того, что в числе выбранных исправных приемников будет не менее двух.

Решение:

Событие А- исправных приемников не менее 2-х, т.е. 3 и более.

Р(А) = ;

n= = = = 2400.

m= x = x = х = = 8,4.

Р(А)= = 285,71

Задание 17. В двух ящиках находятся шары, отличающиеся только цветом, причем в первой урне 5 белых шаров, 11 черных и 8 красных, а во второй соответственно 18, 8 и 6. Из каждого ящика наудачу извлекается по одному шару. Какова вероятность, что оба шара одного цвета?

Событие А- оба шара одного цвета?

Решение:

Вероятность того, что из первого ящика извлеченный шар будет белым =

Вероятность того, что из первого ящика извлеченный шар будет черным =

Вероятность того, что из первого ящика извлеченный шар будет красным =

Вероятность того, что из второго ящика извлеченный шар будет белым =

Вероятность того, что из второго ящика извлеченный шар будет черным =

Вероятность того, что из второй урны извлеченный шар будет красным =

Р(А)= х х х = = = 495

Задание 26. В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела — 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Какова вероятность того, что выстрел произведен из винтовки с прицелом?

Решение: Событие А- выстрел произведен из винтовки с прицелом.

Р (оптического прицела)= = 0,44.

Р (без оптического прицела) = = 0,56.

Вероятность того, что стрелок попал в мишень из винтовки без оптического прицела больше и она = 0,56. Вероятность попадения в мишень из винтовки с оптическим прицелом = 0,44.

36. Стрелок трижды стреляет в мишень. Вероятность промаха при одном выстреле равна 0,1. Построить многоугольник распределения, закон и функцию распределения случайной величины Х — числа промахов при 3 выстрелах. Найти математическое ожидание и дисперсию Х.

Решение.

Случайная величина (СВ) Х – число промахов - может принимать значения 0, 1, 2, 3. Вероятности этих значений вычисляются по формуле Бернулли при р = 0,1, q = 1- 0,1 = 0,9.

, ,

,

Ряд распределения СВ Х имеет вид:

Многоугольник распределения

Функция распределения по определению равна F(x) = P( X < x ) и запишется:

График показан на рисунке.

F(x)

1

0,8

0,6

0,4

0,2

1 2 3 x

Вычисляем математическое ожидание и дисперсию:

D[x] = 0,36 - (0,3)² = 0,27.

Задание 47. 

Решение.

Решение

1) Для предварительного установления зависимости X и Y по данным таблицы построим корреляционное поле в системе координат .

Определяем координаты точек A, B, C, D, E, F.

Точка А имеет координаты , где , , то есть ;

точка , то есть B(7; 106);

точка , то есть C(12; 118,89);

точка , то есть D(17; 12,81);

точка , то есть E(22; 133,33).

.

Нетрудно видеть, что связь между X и Y является линейной. Поэтому уравнение регрессии ищем в виде: .

2) По известным формулам находим числовые характеристики:

Находим и :

3) Для того, чтобы написать выборочные уравнения прямых линий регрессии, необходимо найти коэффициент линейной корреляции по формуле

Определим для полной задачи :

Тогда

Уравнение прямой регрессии Y на X имеет вид

,

где — коэффициент регрессии Y на X, который находится по формуле

Тогда получаем следующее уравнение регрессии Y на X:

Составим теперь уравнение регрессии X на Y:

.

Построим прямые регрессий и .

Задача 1

В ящике 10 деталей, среди которых 6 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает 4 детали. Найти вероятность того, что все извлеченные детали окажутся окрашенными.

Решение

Пусть событие А состоит в том, что 4 извлеченные детали окажутся окрашенными. Вероятность события А найдем по классическому определению вероятности

,

где m — число равновозможных элементарных событий, благоприятных для события А, т. е. для нашей задачи m — это число способов, которыми можно выбрать 4 окрашенные детали из 6 имеющихся окрашенных деталей.

Так как порядок выбора не имеет значения, то

;

n — число всех возможных элементарных событий, то есть в нашей задаче n — это число способов, которыми можно извлечь 4 детали из 10 деталей в ящике.

Так как порядок отбора не имеет значения, то

.

Итак,

.

Задача 2

Из партии швейных изделий отбираются изделия первого сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие первого сорта, равна 0,84. Найти вероятность того, что из двух взятых изделий:

а) только одно первого сорта;

б) хотя бы одно первого сорта.

Решение

а) Пусть первое изделие первого сорта — это событие , а второе изделие первого сорта — . Событие В, состоящее в том, что выздоровеет только одно животное, будет суммой двух несовместных событий , т. е.

.

Воспользовавшись теоремой сложения и умножения вероятностей для независимых событий, получим

.

б) Событие С, состоящее в том, что хотя бы одно изделие первого сорта, является суммой двух совместных событий А₁ и А₂, то есть либо первое изделие первого сорта, либо второе изделие первого сорта, либо оба изделия первого сорта.

По теореме сложения вероятностей двух совместных событий имеем:

.

Поскольку и — независимые события, то для них верно:

Задача 3

В магазине продаются электролампы производства 3 заводов, причем доля первого завода — 30%, второго — 50, третьего — 20%. Брак в их продукции составляет соответственно 5%, 3% и 2%.

1) Какова вероятность того, что случайно выбранная в магазине лампа оказалась бракованной? 2)Пусть покупатель купил электролампу в этом магазине, и она оказалась бракованной. Найти вероятность того, что эта лампа изготовлена на втором заводе.

Решение

Обозначим через A = {выбранная лампа оказалась бракованной}.

{выбранная лампа изготовлена на i-м заводе}, . Тогда , , , , , . По формуле полной вероятности вероятность того, что случайно выбранная лампа оказалась бракованной, получим

.

Для ответа на второй вопрос задачи выпишем формулу Байеса для этого случая

.

Задача 4

Заводом выпущено n компрессоров. Составить закон распределения случайной величины Х — числа компрессоров, Соответствующих техническим требованиям заказчика, построить многоугольник распределения этой случайной величины. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение, если вероятность того, что любой отдельно взятый компрессор соответствует техническим требованиям заказчика, равна р. k = 4; p = 0,55.

Решение

Так как вероятность того, что любой отдельно взятый компрессор соответствует техническим требованиям заказчика постоянна и не зависит от исходов предыдущих испытаний, то случайная величина Х — числа компрессоров, соответствующих техническим требованиям заказчика, подчиняется биномиальному закону распределения, то есть Х = 0, 1, 2, 3, 4 и (формула Бернулли).

Найдем эти вероятности:

;

;

;

;

.

Следовательно, ряд распределения случайной величины Х можно задать таблицей:

Построим многоугольник распределения дискретной случайной величины:

Вычислим математическое ожидание случайной величины Х:

.

Далее найдем дисперсию

.

Среднее квадратическое отклонение равно:

.

Задача 5

Приводятся результаты наблюдений над двумерной случайной величины . Используя эти экспериментальные данные, необходимо:

1. построить корреляционное поле, по характеру расположения точек на корреляционном поле подобрать математическую модель регрессионной зависимости Y на X и X на Y (рекомендуется использовать модель линейной регрессии).

2. определить числовые характеристики выборки ;

3. написать выборочные уравнения прямых линий регрессии Y на X и X на Y и построить их графики;

4. вычислить коэффициент корреляции.

Решение

1) Для предварительного установления зависимости X и Y по данным таблицы построим корреляционное поле в системе координат .

Определяем координаты точек A, B, C, D, E, F.

Точка А имеет координаты , где , , то есть ;

точка , то есть B(35; 22,33);

точка , то есть C(45; 32,63);

точка , то есть D(55; 36,82);

точка , то есть E(65; 42).

Нетрудно видеть, что связь между X и Y является линейной. Поэтому уравнение регрессии ищем в виде: .

2) По известным формулам находим числовые характеристики:

Находим и :

3) Для того, чтобы написать выборочные уравнения прямых линий регрессии, необходимо найти коэффициент линейной корреляции по формуле

Определим для полной задачи :

.

.

Тогда

Уравнение прямой регрессии Y на X имеет вид

,

где — коэффициент регрессии Y на X, который находится по формуле

Тогда получаем следующее уравнение регрессии Y на X:

Составим теперь уравнение регрессии X на Y:

.

Построим прямые регрессий и .

Из 13 женщин и 12 мужчин составляется наугад группа из 6 человек. Какова вероятность того, что в нее попадут 3 женщины и 3 мужчины?

Решение:

Решение

Пусть событие А состоит в том, что 6 человек выбранные наугад в группу являются 3 женщины и 3 мужчины. Для того, того чтобы в группе было 3 женщины их следует выбрать из 13 женщин, число способов такого выбора равно . Остальные 3 человека – мужчины, выбираются из 12, это можно осуществить способами. По теореме умножения число способов, благоприятствующих сбытию, равно . Число всех способов равно числу способов выбора 6 человек из 25 человек, т.е. . Поэтому искомая вероятность равна:

,

Решая получаем:

Итак,

Ответ: .

В коробке 3 синих и 7 красных шариков. Наугад извлекается один шарик, затем второй. Найти вероятность того, что первый шарик — красный, а второй — синий.

Решение:

Пусть первый шарик красный — это событие , а второй шар – синий событие — . Событие В, состоящее в том, что первый шар красный, второй – синий. Она равна вероятности.

Ответ: Вероятность, что первый шар будет красный, а второй – синий равна 0,2(3).

Для поисков спускаемого аппарата космического корабля выделено 4 вертолета первого типа и 6 вертолетов второго типа. Каждый вертолет первого типа обнаруживает находящийся в районе поиска аппарат с вероятностью 0,5, второго типа — с вероятностью 0,75. 1) Найти вероятность того, что наугад выбранный вертолет обнаружит аппарат. 2) К какому типу вероятнее всего принадлежит вертолет, обнаруживший спускаемый аппарат?

1. Обозначим через A = {выбранный вертолет обнаружит аппарат}.

{выбранный вертолет i-го тип}, . Тогда , , , . По формуле полной вероятности вероятность того, что наугад выбранный вертолет обнаружит аппарат, получим

.

Для ответа на второй вопрос задачи выпишем формулу Байеса для каждого случая:

;

.

Ответ: Вертолет, обнаруживший спускаемый аппарат принадлежит ко второму типу.

Дана дискретная случайная величина Х. Построить: 1) ряд распределения; 2) многоугольник распределения; 3) функцию распределения F(x). Рассчитать: 1) математическое ожидание; 2) дисперсию; 3) среднее квадратическое отклонение.

Вероятность того, что стрелок попадает в мишень при одном выстреле, равна 0,8. Х — число попаданий при 4 выстрелах.

Решение

Так как вероятность того, что любой отдельный взятый выстрел попадает в мишень и вероятность равна и не зависит от предыдущих попаданий, то случайная величина Х — число попаданий, подчиняется биномиальному закону распределения, то есть Х = 0, 1, 2, 3, 4 и (формула Бернулли).

Найдем эти вероятности:

;

;

;

;

.

Следовательно, ряд распределения случайной величины Х можно задать таблицей:

Построим многоугольник распределения дискретной случайной величины:

Многоугольник распределения

Вычислим математическое ожидание случайной величины Х:

.

Далее найдем дисперсию

.

Среднее квадратическое отклонение равно:

.

Приводятся результаты наблюдений  над двумерной случайной величины (X,Y). Используя эти экспериментальные данные, необходимо:

9. построить корреляционное поле. По характеру расположения точек на корреляционное поле подобрать математическую модель регрессионной зависимости Y от X и X от Y (рекомендуется использовать модель линейной регрессии);

10. определить числовые характеристики ;

11. написать выборочные уравнения прямых линий регрессии Y на X и X на Y и построить их графики;

12. вычислить коэффициент корреляции.

Решение

1) Для предварительного установления зависимости X и Y по данным таблицы построим корреляционное поле в системе координат .

Определяем координаты точек A, B, C, D, E.

Точка А имеет координаты , где , , то есть ;

точка , то есть B(7;106);

точка , то есть C(12; 118,3);

точка , то есть D(17; 130,9);

точка , то есть E(22; 133,3).

Нетрудно видеть, что связь между X и Y является линейной. Поэтому уравнение регрессии ищем в виде: .

2) По известным формулам находим числовые характеристики:

Находим и :

3) Для того, чтобы написать выборочные уравнения прямых линий регрессии, необходимо найти коэффициент линейной корреляции по формуле

Определим для полной задачи :

Тогда

Уравнение прямой регрессии Y на X имеет вид

,

где — коэффициент регрессии Y на X, который находится по формуле

Тогда получаем следующее уравнение регрессии Y на X:

Составим теперь уравнение регрессии X на Y:

.

Построим прямые регрессий и .

Из 13 женщин и 12 мужчин составляется наугад группа из 6 человек. Какова вероятность того, что в нее попадут 3 женщины и 3 мужчины?

Решение:

Решение

Пусть событие А состоит в том, что 6 человек выбранные наугад в группу являются 3 женщины и 3 мужчины. Для того, того чтобы в группе было 3 женщины их следует выбрать из 13 женщин, число способов такого выбора равно . Остальные 3 человека – мужчины, выбираются из 12, это можно осуществить способами. По теореме умножения число способов, благоприятствующих сбытию, равно . Число всех способов равно числу способов выбора 6 человек из 25 человек, т.е. . Поэтому искомая вероятность равна:

,

Решая получаем:

Итак,

Ответ: .

В коробке 3 синих и 7 красных шариков. Наугад извлекается один шарик, затем второй. Найти вероятность того, что первый шарик — красный, а второй — синий.

Решение:

Пусть первый шарик красный — это событие , а второй шар – синий событие — . Событие В, состоящее в том, что первый шар красный, второй – синий. Она равна вероятности.

Ответ: Вероятность, что первый шар будет красный, а второй – синий равна 0,2(3).

Для поисков спускаемого аппарата космического корабля выделено 4 вертолета первого типа и 6 вертолетов второго типа. Каждый вертолет первого типа обнаруживает находящийся в районе поиска аппарат с вероятностью 0,5, второго типа — с вероятностью 0,75. 1) Найти вероятность того, что наугад выбранный вертолет обнаружит аппарат. 2) К какому типу вероятнее всего принадлежит вертолет, обнаруживший спускаемый аппарат?

2. Обозначим через A = {выбранный вертолет обнаружит аппарат}.

{выбранный вертолет i-го тип}, . Тогда , , , . По формуле полной вероятности вероятность того, что наугад выбранный вертолет обнаружит аппарат, получим

.

Для ответа на второй вопрос задачи выпишем формулу Байеса для каждого случая:

;

.

Ответ: Вертолет, обнаруживший спускаемый аппарат принадлежит ко второму типу.

Дана дискретная случайная величина Х. Построить: 1) ряд распределения; 2) многоугольник распределения; 3) функцию распределения F(x). Рассчитать: 1) математическое ожидание; 2) дисперсию; 3) среднее квадратическое отклонение.

Вероятность того, что стрелок попадает в мишень при одном выстреле, равна 0,8. Х — число попаданий при 4 выстрелах.

Решение

Так как вероятность того, что любой отдельный взятый выстрел попадает в мишень и вероятность равна и не зависит от предыдущих попаданий, то случайная величина Х — число попаданий, подчиняется биномиальному закону распределения, то есть Х = 0, 1, 2, 3, 4 и (формула Бернулли).

Найдем эти вероятности:

;

;

;

;

.

Следовательно, ряд распределения случайной величины Х можно задать таблицей:

Построим многоугольник распределения дискретной случайной величины:

Многоугольник распределения

Вычислим математическое ожидание случайной величины Х:

.

Далее найдем дисперсию

.

Среднее квадратическое отклонение равно:

.

Приводятся результаты наблюдений  над двумерной случайной величины (X,Y). Используя эти экспериментальные данные, необходимо:

13. построить корреляционное поле. По характеру расположения точек на корреляционное поле подобрать математическую модель регрессионной зависимости Y от X и X от Y (рекомендуется использовать модель линейной регрессии);

14. определить числовые характеристики ;

15. написать выборочные уравнения прямых линий регрессии Y на X и X на Y и построить их графики;

16. вычислить коэффициент корреляции.

Решение

1) Для предварительного установления зависимости X и Y по данным таблицы построим корреляционное поле в системе координат .

Определяем координаты точек A, B, C, D, E.

Точка А имеет координаты , где , , то есть ;

точка , то есть B(7;106);

точка , то есть C(12; 118,3);

точка , то есть D(17; 130,9);

точка , то есть E(22; 133,3).

Нетрудно видеть, что связь между X и Y является линейной. Поэтому уравнение регрессии ищем в виде: .

2) По известным формулам находим числовые характеристики:

Находим и :

3) Для того, чтобы написать выборочные уравнения прямых линий регрессии, необходимо найти коэффициент линейной корреляции по формуле

Определим для полной задачи :

Тогда

Уравнение прямой регрессии Y на X имеет вид

,

где — коэффициент регрессии Y на X, который находится по формуле

Тогда получаем следующее уравнение регрессии Y на X:

Составим теперь уравнение регрессии X на Y:

.

Построим прямые регрессий и .

Задача № 1

Среди кандидатов в студенческий совет факультета 3 первокурсника, 5 второкурсников, 7 студентов третьего курса. Из этого состава выбирают 5 человек. Найти вероятность того, что:

- все первокурсники попадут в совет;

- в совет будет избран 1 первокурсник, 2 второкурсника, 2 студента третьего курса.

Решение

Общее число различных вариантов выбора пяти человек из данных (3+5+7)=15-ти человек:

1) Число различных вариантов выбора пяти человек, когда все три первокурсника попадут в совет:

Вероятность того, что все первокурсники попадут в совет:

2) Число различных вариантов выбора пяти человек, когда в совет будут выбраны 1 первокурсник, 2 второкурсника и 2 студента 3-го курса:

Соответствующая вероятность:

Ответ: 1) 0,0220; 0,210.

Задача № 11

Экспедиция издательства отправила газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки в первое отделение равна 0,95, во второе — 0,9, в третье — 0,8. Найти вероятность того, что хотя бы одно отделение получит газеты вовремя.

Решение

Пусть p_i – вероятность своевременной доставки газеты в i-ое отделение, i=1,2,3. Тогда вероятность того, что в i-ое отделение газета не будет доставлена вовремя: q_i = 1 – p_i.

Вероятность того, что ни в одно отделение газеты не будут доставлены вовремя:

Искомая вероятность того, что хотя бы одно отделение получит газеты вовремя:

Ответ: 0,999.

Задача № 23

Три автомата изготавливают однотипные детали, которые поступают на общий конвейер. Производительности первого, второго и третьего автомата соотносятся как 2 : 3 : 5. Вероятность того, что деталь с первого автомата – высшего качества, равна 0,9, для второго – 0,8, для третьего – 0,6. Найти вероятность того, что:

- наугад взятая с конвейера деталь окажется высшего качества;

- взятая наугад деталь высшего качества изготовлена 2-м автоматом.

Решение

Пусть Н₁ = {Деталь изготовлена 1-м автоматом}, H₂ = {Деталь изготовлена 2-м автоматом}, H₃ = {Деталь изготовлена 3-м автоматом}, A = {Деталь высшего качества}. По условию имеем вероятности:

1) По формуле полной вероятности находим вероятность того, что наугад взятая с конвейера деталь окажется высшего качества:

2) Пусть взятая с конвейера деталь оказалась высшего качества.

Тогда вероятность того, что она изготовлена вторым автоматом (по формуле Байеса):

Ответ: 1) 0,72; 2) 0,333.

Задача № 39

В партии 20% нестандартных деталей, т.е. вероятность появления нестандартных деталей одинакова и равна р = 0,2. Наудачу отобраны 4 детали. Определить ряд распределения, построить многоугольник распределения, функцию распределения случайной величины Х — числа нестандартных деталей среди четырех отобранных. Найти математическое ожидание и дисперсию.

Решение

Возможные значения СВ Х: 0; 1; 2; 3; 4.

Находим соответствующие вероятности по формуле Бернулли:

Строим ряд распределения СВ Х.

Проверка:

Строим многоугольник распределения.

Функция распределения:

Строим график функции распределения.

Для определения числовых характеристик СВ Х составим расчётную таблицу.

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Задача № 41

Приводятся результаты наблюдений (x_i, y_i) над двумерной величиной (Х, Y). Используя эти экспериментальные данные, необходимо:

1) построить корреляционное поле. По характеру расположения точек на корреляционном поле подобрать математическую модель регрессионной зависимости Y от X и X от Y;

2) определить числовые характеристики ;

3) написать выборочные уравнения прямых линий регрессии Y на X и X на Y и построить их графики;

4) вычислить коэффициент корреляции.

Решение

По данной таблице находим координаты экспериментальных точек:

Строим корреляционное поле по найденным точкам.

D

По расположению точек на корреляционном поле видно, что связь между X и Y является линейной. Поэтому уравнение регрессии Y на X следует искать в виде: Y = aX + b.

Для определения числовых характеристик двумерной случайной величины составим расчётную таблицу.

Числовые характеристики выборки:

Выборочный коэффициент линейной корреляции:

Уравнение прямой линии регрессии Y на Х:

Уравнение прямой линии регрессии X на Y:

Строим линии (1) и (2) и экспериментальные точки.

D