Вариант 21

Задача № 6

Среди 50 фотокарточек есть одна фотокарточка знаменитого артиста. Взяли наудачу 10 фотокарточек. Какова вероятность того, что среди них есть фото артиста?

Решение:

Общее число различных вариантов извлечения 10-ти фотокарточек из данных 50-ти фотокарточек:

Число различных вариантов извлечения 10-ти фотокарточек, когда среди них будет одна фотокарточка знаменитого артиста:

Искомая вероятность:

Ответ: 0,2.

Задача № 17

В двух ящиках находятся шары, отличающиеся только цветом, причем в первой урне 5 белых шаров, 11 черных и 8 красных, а во второй соответственно 18, 8 и 6. Из каждого ящика наудачу извлекается по одному шару. Какова вероятность, что оба шара одного цвета?

Решение:

Вероятность того, что оба шара будут белыми:

Аналогично вероятность того, что оба шара будут чёрными и красными соответственно:

Искомая вероятность:

Ответ: 0,294.

Задача № 28

В канцелярии работают 4 секретаря, которые обрабатывают по 40, 10, 30 и 20% исходящих документов за одно и то же время. Вероятность неверной адресации документов секретарями соответственно равны 0,01; 0,04; 0,06; 0,01. Найти вероятность того, что один из документов, оказавшийся неверно адресованным, отправлен вторым секретарем.

Решение:

Пусть H_i = {Документ отправлен i-м секретарём}, A = {Документ неверно адресован}. По условию имеем вероятности:

Вероятность того, что произвольно выбранный документ неверно адресован (по формуле полной вероятности):

Искомая вероятность по формуле Байеса:

Ответ: 0,143.

Задача № 36

Стрелок трижды стреляет в мишень. Вероятность промаха при одном выстреле равна 0,1. Построить многоугольник распределения, закон и функцию распределения случайной величины Х — числа промахов при 3 выстрелах. Найти математическое ожидание и дисперсию Х.

Решение:

Вероятность промаха при каждом выстреле одинакова и равна р=0,1.

Возможные значения СВ Х: 0; 1; 2; 3.

Находим соответствующие вероятности по формуле Бернулли:

Составляем закон распределения СВ Х.

xi	0	1	2	3
pi	0,729	0,243	0,027	0,001

Проверка:

Строим многоугольник распределения.

Функция распределения:

Строим график функции распределения.

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Задача № 49

Приводятся результаты наблюдений (x_i, y_i) над двумерной величиной (Х, Y). Используя эти экспериментальные данные, необходимо:

1) построить корреляционное поле. По характеру расположения точек на корреляционном поле подобрать математическую модель регрессионной зависимости Y от X и X от Y;

2) определить числовые характеристики ;

3) написать выборочные уравнения прямых линий регрессии Y на X и X на Y и построить их графики;

4) вычислить коэффициент корреляции.

x y	2	7	12	17	22	27	ny
100	2	4					6
110		6	2				8
120			3	50	2		55
130			1	10	6		17
140				4	7	3	14
nx	2	10	6	64	15	3	n=100

Решение:

По данной таблице находим координаты экспериментальных точек:

Строим корреляционное поле по найденным точкам.

По расположению точек на корреляционном поле видно, что связь между X и Y является линейной. Поэтому уравнение регрессии Y на X следует искать в виде: Y = aX + b.

Для определения числовых характеристик двумерной случайной величины составим расчётную таблицу.

X	nx	Xnx	X2nx	Y	ny	Yny	Y2ny
2	2	4	8	100	6	600	60000
7	10	70	490	110	8	880	96800
12	6	72	864	120	55	6600	792000
17	64	1088	18496	130	17	2210	287300
22	15	330	7260	140	14	1960	274400
27	3	81	2187	∑	100	12250	1510500
∑	100	1645	29305

Числовые характеристики выборки:

Выборочный коэффициент линейной корреляции:

Уравнение прямой линии регрессии Y на Х:

Уравнение прямой линии регрессии X на Y:

Строим линии (1) и (2) и экспериментальные точки.

Задание №1

Из колоды в 36 карт вытаскивают 3. Какова вероятность того, что среди них окажется ровно 2 карты червовой масти?

Решение:

Решим задачу методом гипергеометрического распределения.

Задача описывается следующей таблицей

	Вытянутые	Невытянутые	Всего
Червовые	2 (k)	7=9-2(D-k)	9(D)
Не червовые	1=3-2 (n-k)	26=36+2-3-9 (N+k-n-D)	27(N-D)
Всего	3 (n)	33(N-n)	36(N)

Вероятность Pr (k=x) того, что будут вытянуты ровно х червовых карт (= количество успехов), может быть посчитана с помощью формулы:

В нашем случае (х=2), получим:

0.12605

Как видим вероятность вытянуть 2 червовые карты не так мала (примерно 0.13). Это значит, что при проведении эксперимента 100 раз, мы можем получить нужный нам результат 13 раз.

Задание №2

Вероятность попадания в цель каждого из 3 стрелков соответственно равны 0,9; 0,85; 0,75. Стрелки произвели один залп. Найти вероятность: 

• только одного попадания;

• не менее 2 попаданий.

Решение:

Найдем вероятность только одного попадания по формуле полной вероятности:

Гипотезы:

-нет попаданий;

-одно попадание;

-2 попадания;

-3 попадания;

Тогда найдем

Тогда вероятность не менее 2-х попаданий, т.е. )+ ровна:

Задание №3

Детали поступают на обработку на один из 3 станков с вероятностями, соответственно равными 0,1; 0,3; 0,6. Вероятность брака на первом станке равна 0,03; на втором — 0,02; на третьем — 0,01. Найти:

• вероятность того, что случайно взятая после обработки деталь — стандартная;

• вероятность обработки наугад взятой детали на втором станке, если она оказалась стандартной.

Решение:

Гипотезы:

-деталь обрабатывалась на 1-ом станке

-деталь обрабатывалась на 2-ом станке

-деталь обрабатывалась на 3-ом станке

Из условия вероятность успешной обработки:

А) Найдем вероятность того, что случайно взятая деталь окажется стандартной, по формуле полной вероятности:

Б) Найдем вероятность того, что наугад взятая деталь была обработана на 2-ом станке, если она стандартная , по формуле Байеса:

Ответ: 0.979; 0.3.

Задание №4

В партии 10% нестандартных деталей, т.е. вероятность появления нестандартных деталей одинакова и равна 0,1. Наудачу отобраны 4 детали. Определить ряд распределения, построить многоугольник распределения, функцию распределения случайной величины Х — числа нестандартных деталей среди четырех отобранных. Найти математическое ожидание и дисперсию.

Решение:

Дискретная случайная величина х-число нестандартных деталей имеет биноминальное распределение и может принимать следующие значения: ; ; х₃ = 2; х₄ = 3; х₅ = 4.

Найдем вероятность этих значений:

х₃ = 2

х₄ = 3

х₅ = 4

Ряд распределения имеет вид:

n	0	1	2	3	4
P	0.6561	0.2916	0.0486	0.0036	0.0001

Построим многоугольник распределения:

Математическое ожидание:

Дисперсия: -U(x)]² pi=(0-0.4)²*0.6561+(1-0.4)²*0.2916+(2-0.4)²*0.0486+(3-0.4)²*0.0036+(4-0.4)²*0.0001=0.36 дет²

Дискретную случайную величину можно задать функцией распределения

Зададим применительно к заданному условию

Задание №5

Приводятся результаты наблюдений  над двумерной случайной величины (X,Y). Используя эти экспериментальные данные, необходимо:

5. построить корреляционное поле. По характеру расположения точек на корреляционное поле подобрать математическую модель регрессионной зависимости Y от X и X от Y (рекомендуется использовать модель линейной регрессии);

6. определить числовые характеристики ;

7. написать выборочные уравнения прямых линий регрессии Y на X и X на Y и построить их графики;

8. вычислить коэффициент корреляции.

x	3,4	3,8	4,2	4,6	ny
y
3,2	6	4			10
3,6	2	8	3		13
4,0		5	10	1	16
4,4			6	5	11
nx	8	17	19	6	n = 50

Точка А(x, y), где х=3,4

Точка B(x, y), где х=3,8

Точка C(x, y), где х=4,2

Точка C(x, y), где х=4,6

Связь между x и y является линейной. Уравнение регрессии Y=aX+b.

По известным формулам находим числовые характеристики:

^{2 2}

Находим

Коэффициент линейной корреляции

Тогда

Уравнение прямой регрессии Y на X

=P y/x( ), где Р у/х – коэффициент регрессии Y на X

Р у/х=

Р у/х²=

Уравнение регрессии X на Y:

Построим прямые регрессии и

Задача № 5

На полке стоят 15 книг, 5 из них в переплете. Берут наудачу 3 книги. Какова вероятность того, что все 3 книги в переплете?

Решение:

Общее число различных вариантов извлечения трёх книг из заданных

15-ти книг:

Общее число различных вариантов извлечения трёх книг, когда все извлечённые книги будут в переплёте:

Искомая вероятность:

Ответ: 0,0220.

Задача № 20

Вероятности срабатывания каждого из двух независимых датчиков A₁ и A₂ соответственно равны 0,7 и 0,6. Найти вероятность срабатывания только одного из этих датчиков.

Решение:

Пусть р₁ – вероятность срабатывания датчика А₁, р₂ – датчика А₂. Тогда вероятности отказа датчиков для собственно датчиков А₁ и А₂ соответственно равны (1-р₁) и (1-р₂). Поэтому искомая вероятность того, что сработает только один из датчиков (либо датчик А₁, либо датчик А₂):

Ответ: 0,46.

Задача № 30

В магазине продаются электролампы производства 3 заводов, причем доля первого завода — 25%, второго — 40%, третьего — 35%. Брак в их продукции составляет соответственно 2%, 3% и 4%.

1) Какова вероятность того, что случайно выбранная в магазине лампа оказалась бракованной?

2) Пусть покупатель купил электролампу в этом магазине, и она оказалась бракованной. Найти вероятность того, что эта лампа изготовлена на втором заводе.

Решение:

Пусть Н_i = {Лампа изготовлена на i-ом заводе}, i=1,2,3,

A = {Лампа бракованная}.

По условию имеем вероятности:

1) Вероятность того, что случайно выбранная в магазине лампа оказалась бракованной (по формуле полной вероятности):

2) Искомая вероятность по формуле Байеса:

Ответ: 1) 0,031; 2) 0,387.

Задача № 35

Дана дискретная случайная величина Х. Построить: 1) ряд распределения; 2) многоугольник распределения; 3) функцию распределения F(x). Рассчитать: 1) математическое ожидание; 2) дисперсию; 3) среднее квадратическое отклонение.

Производится 6 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р = 0,6. Х — число появлений события А.

Решение:

Возможные значения СВ Х: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6.

Находим соответствующие вероятности по формуле Бернулли:

Составляем ряд распределения СВ Х.

xi	0	1	2	3	4	5	6
pi	0,004096	0,036864	0,13824	0,27648	0,31104	0,186624	0,046656

Проверка:

Строим многоугольник распределения СВ Х.

Для построения функции распределения F(x) составим вспомогательную таблицу на основе ряда распределения.

xi	0	1	2	3	4	5	6
pi	0,004096	0,036864	0,13824	0,27648	0,31104	0,186624	0,046656
∑pi	0,004096	0,04096	0,1792	0,45568	0,76672	0,953344	1

Функция распределения:

Строим график функции F(x).

Для определения числовых характеристик выборки составим расчётную таблицу.

xi	pi	xipi
0	0,004096	0	0
1	0,036864	0,036864	0,036864
2	0,13824	0,27648	0,55296
3	0,27648	0,82944	2,48832
4	0,31104	1,24416	4,97664
5	0,186624	0,93312	4,6656
6	0,046656	0,279936	1,679616
∑	1	3,6	14,4

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение:

Задача № 45

Приводятся результаты наблюдений (x_i, y_i) над двумерной величиной (Х, Y). Используя эти экспериментальные данные, необходимо:

1) построить корреляционное поле. По характеру расположения точек на корреляционном поле подобрать математическую модель регрессионной зависимости Y от X и X от Y;

2) определить числовые характеристики ;

3) написать выборочные уравнения прямых линий регрессии Y на X и X на Y и построить их графики;

4) вычислить коэффициент корреляции.

x y	30	50	70	90	110	130	ny
40	4	1					5
60	1	3	3				7
80		2	7	4			13
100			4	8	1		13
120				3	5		8
140					1	3	4
nx	5	6	14	15	7	3	n = 50

Решение:

1. Для предварительного установления зависимости Х и Y по данным таблицы построим корреляционное поле в системе координат (х, y)/

По данной таблице находим координаты экспериментальных точек:

Строим корреляционное поле по найденным точкам.

D

D

C

A

F

E

B

2) По расположению точек на корреляционном поле видно, что связь между X и Y является линейной. Поэтому уравнение регрессии Y на X следует искать в виде: Y = aX + b.

Для определения числовых характеристик двумерной случайной величины составим расчётную таблицу.

X	nx	Xnx	X2nx	Y	ny	Yny	Y2ny
30	5	150	4500	40	5	200	8000
50	6	300	15000	60	7	420	25200
70	14	980	68600	80	13	1040	83200
90	15	1350	121500	100	13	1300	130000
110	7	770	84700	120	8	960	115200
130	3	390	50700	140	4	560	78400
∑	50	3940	345000	∑	50	4480	440000

Числовые характеристики выборки:

3)Для того чтобы написать выборочные уравнения прямых линий регрессии, необходимо найти коэффициент линейной корреляции по формуле:

Уравнение прямой линии регрессии Y на Х:

Уравнение прямой линии регрессии X на Y:

Строим линии (1) и (2) и экспериментальные точки.

(2)

E

F

C

B

(1)

A

Задача 2

В партии из 15 радиоприемников 5 неисправных. Для проверки наугад выбрали 3 радиоприемника. Найти вероятность того, что в числе выбранных исправных приемников будет не менее двух.

Решение.

Пусть – событие, состоящее в том, что среди 3-ех выбранных радиоприемников будет не менее 2-ух исправных (т. е. исправными будут 2 или 3 радиоприемника).

Согласно классическому определению, вероятность события A равна:

где – число исходов, благоприятствующих событию A;

– общее число исходов.

Исходя из условия задачи:

– это число способов, которыми можно выбрать 3 радиоприемника из 15 имеющихся в партии (причем порядок выбора не имеет значения); отсюда

, – число способов, которыми можно выбрать 2 и 3 исправных радиоприемника соответственно из 10 имеющихся исправных радиоприемников (причем порядок выбора не имеет значения); отсюда

Тогда по формуле сложения вероятностей

Искомая вероятность:

Ответ: .

Задача 12

В телестудии три телевизионные камеры. Вероятность того, что в данный момент камера включена соответственно равны: 0,9; 0,8; 0,7. Найти вероятность того, что в данный момент включены:

а) две камеры;

б) не более одной камеры;

в) три камеры.

Решение.

Введем обозначения.

Событие – включена 1-ая камера;

событие – включена 2-ая камера;

событие – включена 3-ая камера.

Вероятности этих событий по условию задачи равны:

Вероятности событий, противоположных событиям соответственно равны:

а) Пусть – событие, состоящее в том, что в данный момент включены две камеры (т.е. состоится только два из событий ).

Тогда, воспользовавшись формулами сложения и умножения вероятностей для независимых событий, получим

б) Пусть – событие, состоящее в том, что в данный момент будет включено не более одной камеры (т.е. либо будут отключены все три камеры, либо будет включена только 1-ая камера, либо будет включена только 2-ая камера, либо будет включена только 3-я камера).

Тогда, воспользовавшись формулами сложения и умножения вероятностей для независимых событий, получим

в) Пусть – событие, состоящее в том, что в данный момент будут включены все три камеры.

Тогда по формуле умножения вероятностей для независимых событий получим

Ответ:

а) ;

б) ;

в) .

Задача 22

Детали поступают на обработку на один из трех станков с вероятностями, соответственно равными 0,1; 0,3; 0,6. Вероятность брака на первом станке равна 0,03; на втором – 0,02; на третьем – 0,01.

Найти:

а) вероятность того, что случайно взятая после обработки деталь – стандартная;

б) вероятность обработки наугад взятой детали на втором станке, если она оказалась стандартной.

Решение.

а) Пусть – событие, состоящее в том, что случайно взятая после обработки деталь оказалась стандартной.

– гипотезы, что случайно взятая деталь оказалась обработанной соответственно на первом, втором и третьем станках.

Вероятности этих гипотез соответственно равны:

Из условия задачи следует, что

Используя формулу полной вероятности, находим вероятность события :

б) Вероятность обработки наугад взятой детали на втором станке в том случае, что она оказалась стандартной, находим по формуле Байса:

Ответ:

а) ;

б) .

Задача 40

Вероятность успешной сдачи данного экзамена для каждого из 4 студентов равна 0,7. Пусть – случайная величина, равная числу студентов, сдавших экзамен. Построить закон и функцию распределения величины , вычислить математическое ожидание и дисперсию.

Решение.

1) Поскольку вероятность сдачи экзамена для каждого из студентов постоянна и не зависит от исходов предыдущих испытаний, то случайная величина подчиняется биномиальному закону распределения.

Таким образом, случайная величина может принимать следующие значения: 0, 1, 2, 3, 4. Определим значения вероятностей, с которыми случайная величина принимает то либо иное значение, применяя формулу Бернулли

Следовательно, закон распределения случайной величины имеет вид:

Таблица 4.1.

	0	1	2	3	4	Сумма
	0,0081	0,0756	0,2646	0,4116	0,2401	1

2) Функция распределения определяет вероятность того, что случайная величина примет значение, меньше фиксированного действительного числа , т.е. :

при

при

при

при

при

при

В итоге, имеем

3) Математическое ожидание для биномиального закона равно

4) Дисперсия равна

Ответ:

таблица 4.1.;

; рис. 4.1.;

;

.

Задача 42

Приводятся результаты наблюдений над двумерной случайной величиной . Используя эти экспериментальные данные, необходимо:

1) построить корреляционное поле. По характеру расположения точек на корреляционном поле подобрать математическую модель регрессионной зависимости от и от (рекомендуется использовать модель линейной регрессии);

2) определить числовые характеристики выборки , , , ;

3) вычислить коэффициент корреляции;

4) написать выборочные уравнения прямых линий регрессии на и на и построить их графики.

	3,4	3,8	4,2	4,6
3,2	6	4	–	–	10
3,6	2	8	3		13
4,0	–	5	10	1	16
4,4	–	–	6	5	11
	8	17	19	6

Решение.

1) Для предварительного установления зависимости и по данным таблицы построим корреляционное поле в системе координат .

Определяем координаты точек .

Точка имеет координаты , где

, , то есть ;

точка , то есть ;

точка , то есть ;

точка , то есть ).

Не трудно видеть, что связь между и является линейной. Поэтому уравнение регрессии ищем в виде: .

2) Вычислим числовые характеристики выборки, построив одномерные законы распределения и (таблицы 5.1. и 5.2.).

Таблица 5.1.

	3,4	3,8	4,2	4,6	Σ
	8	17	19	6	50
	27,2	64,6	79,8	27,6	199,20
	92,48	245,48	335,16	126,96	800,08

Таблица 5.2.

	3,2	3,6	4	4,4	Σ
	10	13	16	11	50
	32	46,8	64	48,4	191,20
	102,40	168,48	256,00	212,96	739,84

Дисперсии равны

3) Коэффициент корреляции признаков и равен

Вычислим среднее значение произведений

где - частота появления пары ( ) (из условия).

4) Уравнение прямой регрессии на имеет вид

где – коэффициент регрессии на , который находится по формуле

Тогда получаем уравнение регрессии на :

Составим теперь уравнение регрессии на :

где – коэффициент регрессии на , который находится по формуле

Тогда получаем уравнение регрессии на :

Построим прямые регрессии

,

Ответ:

1) рис. 5.1.;

2) ; ; ; ;

3) ;

4) ; ; рис. 5.2.