Задача № 9

Из колоды в 36 карт вытаскивают 4. Какова вероятность того, что среди них окажется 3 туза и одна шестерка?

Решение

Общее число вариантов выбора 4-х карт из данных 36-и карт:

В колоде находится четыре туза и четыре шестёрки. Тогда число различных вариантов извлечения четырёх карт, когда среди них будет три туза и одна шестёрка:

Искомая вероятность:

Ответ: 0,000272.

Задача № 18

Для того чтобы сбить самолет, достаточно одного попадания. Было сделано 3 выстрела с вероятностями попадания 0,1; 0,3 и 0,4 соответственно. Какова вероятность того, что самолет сбит?

Решение

Пусть p_i – вероятность попадания при i-ом выстреле, . Тогда вероятность промаха при i-ом выстреле: q_i=1-p_i.

Вероятность того, что после трёх выстрелов нет ни одного попадания:

Вероятность того, что после трёх выстрелов было хотя бы одно попадание (то есть вероятность того, что самолёт сбит):

Ответ: 0,622.

Задача № 23

Три автомата изготавливают однотипные детали, которые поступают на общий конвейер. Производительности первого, второго и третьего автомата соотносятся как 2 : 3 : 5. Вероятность того, что деталь с первого автомата – высшего качества, равна 0,9, для второго – 0,8, для третьего – 0,6. Найти вероятность того, что:

- наугад взятая с конвейера деталь окажется высшего качества;

- взятая наугад деталь высшего качества изготовлена 2-м автоматом.

Решение

Пусть Н₁ = {Деталь изготовлена 1-м автоматом}, H₂ = {Деталь изготовлена 2-м автоматом}, H₃ = {Деталь изготовлена 3-м автоматом}, A = {Деталь высшего качества}. По условию имеем вероятности:

1) По формуле полной вероятности находим вероятность того, что наугад взятая с конвейера деталь окажется высшего качества:

2) Пусть взятая с конвейера деталь оказалась высшего качества.

Тогда вероятность того, что она изготовлена вторым автоматом (по формуле Байеса):

Ответ: 1) 0,72; 2) 0,333.

Задача № 33

Дана дискретная случайная величина Х. Построить: 1) ряд распределения; 2) многоугольник распределения; 3) функцию распределения F(x). Рассчитать: 1) математическое ожидание; 2) дисперсию; 3) среднее квадратическое отклонение.

Вероятность того, что стрелок попадает в мишень при одном выстреле, равна р=0,8. Х — число попаданий при 4 выстрелах.

Решение

Возможные значения случайной величины (СВ) Х: 0; 1; 2; 3; 4.

Находим соответствующие вероятности по формуле Бернулли:

Составляем ряд распределения СВ Х.

xi	0	1	2	3	4
pi	0,0016	0,0256	0,1536	0,4096	0,4096

Проверка:

Строим многоугольник распределения.

Функция распределения:

Строим график функции распределения.

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение:

Задача № 43

Приводятся результаты наблюдений (x_i, y_i) над двумерной величиной (Х, Y). Используя эти экспериментальные данные, необходимо:

1) построить корреляционное поле. По характеру расположения точек на корреляционном поле подобрать математическую модель регрессионной зависимости Y от X и X от Y;

2) определить числовые характеристики ;

3) написать выборочные уравнения прямых линий регрессии Y на X и X на Y и построить их графики;

4) вычислить коэффициент корреляции.

x y	5	10	15	20	25	30	ny
30	2	4					6
40		5	4				9
50			40	2	8		50
60			5	10	6		21
70				4	7	3	14
nx	2	9	49	16	21	3	n = 100

Решение

По данной таблице находим координаты экспериментальных точек:

Строим корреляционное поле по найденным точкам.