Задача 9.Из колоды в 36 карт вытаскивают 4. Какова вероятность того, что среди них окажется 3 туза и одна шестерка?
Решение:
А – вероятность того, что среди карт окажется 3 туза и одна шестерка.
Ответ: вероятность того, что среди выбранных карт окажется 3 туза и одна шестерка
Задача 17.В двух ящиках находятся шары, отличающиеся только цветом, причем в первой урне 5 белых шаров, 11 черных и 8 красных, а во второй соответственно 18, 8 и 6. Из каждого ящика наудачу извлекается по одному шару. Какова вероятность, что оба шара одного цвета?
Решение:
Ответ:
вероятность
того, что оба шара одного цвета
Задача 26.В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела — 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Какова вероятность того, что выстрел произведен из винтовки с прицелом?
Решение:
A = {стрелок поразил мишень}.
{стрелок
стрелял из винтовки с оптическим
прицелом};
По формуле Байеса;
Ответ:
вероятность
того, что выстрел произведен из винтовки
с прицелом
Задача 39.В партии 20% нестандартных деталей, т.е. вероятность появления нестандартных деталей одинакова и равна 0,2. Наудачу отобраны 4 детали. Определить ряд распределения, построить многоугольник распределения, функцию распределения случайной величины Х — числа нестандартных деталей среди четырех отобранных. Найти математическое ожидание и дисперсию.
Решение
p=0.2
n=4
q=1-р=0.8.
Вероятность:
Ряд распределения:
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
P |
0.4096 |
0.4096 |
0.1536 |
0.0256 |
0.0016 |
Многоугольник распределения:
при
при
при
при
при
при
Таким образом, функция распределения имеет вид:
0
при
0.4096 при
0.8192 при
0.9728 при
0.9984 при
1
при
Вычислим математическое ожидание случайной величины по формуле:
Далее найдем дисперсию:
Ответ: математическое ожидание - 0,8; дисперсия – 0,64 .
Задача 41
Приводятся
результаты наблюдений
над
двумерной случайной величины (X,Y).
Используя эти экспериментальные данные,
необходимо:
построить корреляционное поле. По характеру расположения точек на корреляционное поле подобрать математическую модель регрессионной зависимости Y от X и X от Y (рекомендуется использовать модель линейной регрессии);
определить числовые характеристики
;
написать выборочные уравнения прямых линий регрессии Y на X и X на Y и построить их графики;
вычислить коэффициент корреляции.
41.
x |
10 |
20 |
30 |
40 |
ny |
y |
|||||
20 |
1 |
|
|
|
1 |
40 |
4 |
1 |
|
|
5 |
60 |
1 |
15 |
1 |
|
17 |
80 |
|
2 |
13 |
|
15 |
100 |
|
|
2 |
1 |
3 |
120 |
|
|
|
9 |
9 |
nx |
6 |
18 |
16 |
10 |
n = 50 |
Решение
1) Для предварительного
установления зависимости X
и Y
по данным таблицы построим корреляционное
поле в системе координат
.
Определяем координаты точек A, B, C, D.
Точка А
имеет координаты
,
где х=10,
,
то есть А(10;40);
точка В: где х=20,
;
то есть B(20;
61,11);
точка С: где х=30,
,
то есть C(30;
81,25);
точка D:
где х=40,
то есть D(40;
118).
у
х
Связь между X
и Y
является линейной. Уравнение регрессии
ищем в виде:
.
2) По известным формулам находим числовые характеристики:
Найти
и
:
.
3) Для того, чтобы
написать выборочные уравнения прямых
линий регрессии, необходимо найти
коэффициент линейной корреляции по
формуле
Определим
:
Тогда
.
Уравнение прямой регрессии Y на X имеет вид
,
где
— коэффициент регрессии Y
на X,
который находится по формуле
Тогда получаем следующее уравнение регрессии Y на X:
.
Составим теперь уравнение регрессии X на Y:
.
Построим прямые регрессий:
и
Задача № 1
Среди кандидатов в студенческий совет факультета 3 первокурсника, 5 второкурсников, 7 студентов третьего курса. Из этого состава выбирают 5 человек. Найти вероятность того, что:
- все первокурсники попадут в совет;
- в совет будет избран 1 первокурсник, 2 второкурсника, 2 студента третьего курса.
Решение
Общее
число различных вариантов выбора пяти
человек из данных (3+5+7)=15-ти человек:
1) Число различных вариантов выбора пяти человек, когда все три первокурсника попадут в совет:
Вероятность того, что все первокурсники попадут в совет:
2) Число различных вариантов выбора пяти человек, когда в совет будут выбраны 1 первокурсник, 2 второкурсника и 2 студента 3-го курса:
Соответствующая
вероятность:
Ответ: 1) 0,0220; 0,210.
Задача № 12
В телестудии три телевизионные камеры. Вероятность того, что в данный момент камера включена, соответственно равна 0,9; 0,8; 0,7. Найти вероятность того, что в данный момент включены:
- две камеры;
- не более одной камеры;
- три камеры.
Решение
Пусть pi – вероятность того, что в данный момент включена i-ая камера, qi – вероятность того, что в данный момент i-ая камера выключена, qi=1-pi.
1) Вероятность того, что в данный момент включены две камеры:
2) Вероятность того, что в данный момент включена только одна камера:
Вероятность
того, что в данный момент ни одна из
камер не включена:
Тогда искомая вероятность того, что в данный момент включено не более одной камеры (то есть либо включена одна камера, либо вообще ни одной камеры не включено):
3) Вероятность того, что в данный момент включены все три камеры:
Эту вероятность можно найти иначе:
Ответ: 1) 0,398; 2) 0,098; 3) 0,504.
Задача № 23
Три автомата изготавливают однотипные детали, которые поступают на общий конвейер. Производительности первого, второго и третьего автомата соотносятся как 2 : 3 : 5. Вероятность того, что деталь с первого автомата – высшего качества, равна 0,9, для второго – 0,8, для третьего – 0,6. Найти вероятность того, что:
- наугад взятая с конвейера деталь окажется высшего качества;
- взятая наугад деталь высшего качества изготовлена 2-м автоматом.
Решение
Пусть Н1 = {Деталь изготовлена 1-м автоматом}, H2 = {Деталь изготовлена 2-м автоматом}, H3 = {Деталь изготовлена 3-м автоматом}, A = {Деталь высшего качества}. По условию имеем вероятности:
1) По формуле полной вероятности находим вероятность того, что наугад взятая с конвейера деталь окажется высшего качества:
2) Пусть взятая с конвейера деталь оказалась высшего качества.
Тогда вероятность того, что она изготовлена вторым автоматом (по формуле Байеса):
Ответ: 1) 0,72; 2) 0,333.
Задача № 31
Дана дискретная случайная величина Х. Построить: 1) ряд распределения; 2) многоугольник распределения; 3) функцию распределения F(x). Рассчитать: 1) математическое ожидание; 2) дисперсию; 3) среднее квадратическое отклонение.
Из урны, содержащей 5 белых и 3 чёрных шара, наугад извлекают 4 шара.
Х – число вынутых белых шаров.
Решение
Возможные значения СВ Х: 1; 2; 3; 4.
Находим соответствующие вероятности:
Составляем ряд распределения СВ Х.
xi |
1 |
2 |
3 |
4 |
pi |
5/70 |
30/70 |
30/70 |
5/70 |
Проверка:
Строим многоугольник распределения.
Функция
распределения СВ Х:
Строим график функции F(x).
Математическое ожидание:
Дисперсия:
Среднее квадратическое отклонение:
Задача № 49
Приводятся результаты наблюдений (xi, yi) над двумерной величиной (Х, Y). Используя эти экспериментальные данные, необходимо:
1) построить корреляционное поле. По характеру расположения точек на корреляционном поле подобрать математическую модель регрессионной зависимости Y от X и X от Y;
2)
определить числовые характеристики
;
3) написать выборочные уравнения прямых линий регрессии Y на X и X на Y и построить их графики;
4) вычислить коэффициент корреляции.
x y |
2 |
7 |
12 |
17 |
22 |
27 |
ny |
100 |
2 |
4 |
|
|
|
|
6 |
110 |
|
6 |
2 |
|
|
|
8 |
120 |
|
|
3 |
50 |
2 |
|
55 |
130 |
|
|
1 |
10 |
6 |
|
17 |
140 |
|
|
|
4 |
7 |
3 |
14 |
nx |
2 |
10 |
6 |
64 |
15 |
3 |
n=100 |
Решение
По данной таблице находим координаты экспериментальных точек:
Строим корреляционное поле по найденным точкам.
F
E
D
C
B
A
По расположению точек на корреляционном поле видно, что связь между X и Y является линейной. Поэтому уравнение регрессии Y на X следует искать в виде: Y = aX + b.
Для определения числовых характеристик двумерной случайной величины составим расчётную таблицу.
X |
nx |
Xnx |
X2nx |
Y |
ny |
Yny |
Y2ny |
2 |
2 |
4 |
8 |
100 |
6 |
600 |
60000 |
7 |
10 |
70 |
490 |
110 |
8 |
880 |
96800 |
12 |
6 |
72 |
864 |
120 |
55 |
6600 |
792000 |
17 |
64 |
1088 |
18496 |
130 |
17 |
2210 |
287300 |
22 |
15 |
330 |
7260 |
140 |
14 |
1960 |
274400 |
27 |
3 |
81 |
2187 |
∑ |
100 |
12250 |
1510500 |
∑ |
100 |
1645 |
29305 |
|
|
|
|
Числовые характеристики выборки:
Выборочный
коэффициент линейной корреляции:
Уравнение прямой линии регрессии Y на Х:
Уравнение прямой линии регрессии X на Y:
Строим линии (1) и (2) и экспериментальные точки.
