15.Сигналдың автокорреляциялық функциясы

Сигналдың U(t) мөлшерлі айырмашылық деңгейін анықтау үшін U оның көшірме уақытындағы U(t–τ) ығысқанда автокорреляциялық  функция енгізу керек. Ол сигналдың скалярлық туындысы мен көшірмесіне тең:

                                  (5.1)

Ары қарай зерттелетін сигнал уақыт бойынша жергілікті импульстік сипатқа ие деп есептейміз. Сондықтанда түріндегі интеграл бар. АКФ-ң қарапайым сипаттамаларының қатарына оның жұптылығын жатқызуға болады:

B_u(τ)=B_u(-τ) (5.2)

Енді автокорреляциялық функцияның маңызды қасиеті келесіден тұрады:

Кез-келген уақыттық ығысу мәнінде АКФ модулі сигнал энергиясынан артық болмайды. Бұл кезде сигнал U(t) түріне байланысты автокорреляциялық функция монотонды кемімелі. Сонымен қатар тербелмелі сипатқа да ие бола алады.Шындығында (5.1) теңдігіне сәйкес АКФ бұл скалярлық туынды: .                             (5.3)

Бұл жерде U_τ белгісі ретінде уақыт бойынша ығысқан сигналдың көшірмесі U(t–τ)  белгіленген.

Рэле формуласынан мына теңдікті алуға болады: . Сигналдың уақыт бойынша ығысқан спектральді тығыздығы  бұл жерде .Осыған байланысты мынадай шешімге келеміз: .                     (5.4)

Бізге белгілі спектральды тығыздық модулінің квадраты сигналдың энергетикалық спектрін береді: Сонымен, энергетикалық спектр және автокорреляциялық функция Фурье түрлендірілуімен байланысты:

               .                             (5.5)

Кері ара-қатынаста болады: .                                (5.6)

Бұл шешім екі себепке байланысты принципиальды маңызды.

Біріншіден: спектр бойынша олардың энергияларының таралуын есепке алмай сигналдың корреляциялық қасиетін бағалауға мүмкіндік бар. Сигналдың жиіліктер жолағы кең болған сайын, автокорреляциялық функция.

Екіншіден (5.4) және (5.6) формулалары энергетикалық  спектрді эксперементальді анықтауға жол көрсетеді. Көбінесе басында автокорреляциялық  функцияны алу, ал содан кейін Фурье түрлендірілуін қолданып, сигналдың энергетикалық спектрін табу ыңғайлы.

(5.1) формуласын жалпылай отырып оны екі сигналдың U(t) және V(t) скалярлық  туындысын өзара корреляциялық функциясы (ӨКФ) деп атап, келесі түрде аламыз: .                                   (5.7)

Егер (5.7) формуласындағ интегралдаушы айнымалыны х = t-τ  деп ауыстырып, dt=dx деп алатын болсақ, онда келесі өрнекті аламыз. .                                  (5.8)

Сондықтан : .                                           (5.9)

Жалғыз сигналдың автокорреляциялық функциясының ӨКФ-дан айырмашылығы екі бірдей емес сигналдар жүйесінің сипатталатын қасиеті  аргументінің  жұп функциясы болып табылмайды: .

Егер қарастырылатын сигналдардың ақырғы энергиялары болса, онда өзара корреляциялық функция шектелген. Бұл мақұлдылық Коши-Бунянковский теңсіздігінен шығады: .Бұл жерде, .                            (5.10)

Себебі уақыт бойынша сигнал ығысуы оның нормасының мәніне әсер етпейді.

16.Сигналдың энергетикалық спектрі және оның

корреляциялық функциясы арасындағы байланыс

(5,4)

Бізге белгілі спектральды тығыздық модулінің квадраты сигналдың энергетикалық спектрін береді: Сонымен, энергетикалық спектр және автокорреляциялық функция Фурье түрлендірілуімен байланысты:

               .                             (5.5)

Кері ара-қатынаста болады:

               .                                (5.6)

Бұл шешім екі себепке байланысты принципиальды маңызды.Біріншіден: спектр бойынша олардың энергияларының таралуын есепке алмай сигналдың корреляциялық қасиетін бағалауға мүмкіндік бар. Сигналдың жиіліктер жолағы кең болған сайын, автокорреляциялық функция.Екіншіден (5.4) және (5.6) формулалары энергетикалық  спектрді эксперементальді анықтауға жол көрсетеді. Көбінесе басында автокорреляциялық  функцияны алу, ал содан кейін Фурье түрлендірілуін қолданып, сигналдың энергетикалық спектрін табу ыңғайлы.