5. Коэффициент вариации.

Используется для сравнения вариации в разных совокупностях(распределениях). Это относительный показатель.

Мы будем пользоваться формулой

Чем меньше V , тем однороднее совокупность по изучаемому признаку и типичнее средняя.

Пример

Даны данные о распределении студентов по росту.Требуется рассчитать показатели вариации.

Рост студентов, см	Число студентов f	Середина интервала, x	X*f	|x- |, =175,7 см	|x- |*f
160-165	3	162,5	487,5	13,2	39,6	174,24	522,72
165-170	7	167,5		8.2	57.4	67.24	470.68
170-175	16	172.5		3.2	51.2
175-180	10	177.5		1.8	18.0
180-185	9	182.5		6.8	61.2
185-190	3	187.5		11.8	35.4
190-195	2	192.5		16.8	33.6
Итого:	50	-	8785	-	296.4	-	2588

1)R=195-160=35(см)

2) (см)

3) (см)

Это означает, что рост отдельного студента отклоняется от среднего роста студентов в среднем на 5.93 см.

4)σ= (см)

Показывает то же, что и ; но σ немного больше.

5)D=

6) v=

Это означает, что рост отдельного студента отклоняется от среднего роста всех студентов на 4.1%.

§2. Расчет дисперсии альтернативного признака

Альтернативными признаками называют такие, которыми одни единицы изучаемой совокупности обладают, а другие нет, т.е. вариация которых проявляется в том, что у одних единиц совокупности они встречаются, а у других нет. Например: наличие производственного стажа у абитуриентов, ученой степени у преподавателей вузов и т.д.

Условимся обозначать наличие признака у единиц совокупности через 1, а отсутствие через 0. Долю единиц, обладающих признаком (в общей численности единиц совокупности), обозначим через P, а долю единиц, не обладающих признаком, через q=1-p.Тогда дисперсию альтернативного признака можно рассчитать по общему правилу.

x	f	xf
1	p	p
0	1-p	0
	1	p

Сначала рассчитаем среднее значение альтернативного признака:

Дисперсия альтернативного признака не будет равна:

Если альтернативный признак не варьируется (либо все 1, все 0), то

Если значения 1 и 0 встречаются одинаково часто, т.е. p=1-p=0.5, то , а σ=0.5-max

§3. Виды дисперсий и правило их сложения.

Вариация признака может происходить под действием случайных причин, постоянных (систематических) причин, а также под действием этих причин совместно. В связи с этим различают

1) Общую вариацию - вызвана всеми причинами;

2) Систематическую вариацию - вызвана постоянными причинами;

3) Случайную вариацию - вызвана случайными причинами.

Как можно определить долю вариации, вызванной теми или иными причинами?

Это можно сделать, если расчленить совокупность на группы по признаку, влияние которого изучается. Затем вариация (различие) сгруппированных данных оценивается с помощью дисперсий. Выделяют четыре вида дисперсии:

1)Общая;

2)групповая;

3)Внутригрупповая;

4)Средняя дисперсия из внутригрупповых (или остаточная).

Пример. Изучается зависимость урожайности от применения удобрений.

Группы участков, в зависим. от применения удобрений.	Номер участка	Урожайность ,ц/га;х	Посевная площадь,га;f	Валовой сбор;ц;xf	x
Не применялись	1 2 3	18 20 22	10 30 60	180 600 1320	--6 --4 --2	360 480 240	360 480 240
Итого в среднем	x		100	200	x	x	108
применялись	1 2 3	20 26 30	10 50 40	200 1300 1200	--4 2 6 2 6	16 4 36	160 200 140
Итого в среднем	х		100	2700	х	х	180
Всего	х		200	4800	х	х	280

1. Общая дисперсия измеряет вариацию признака во все совокупности под влиянием всех факторов.

. где - общая средняя;f-частота отдельного признака.

2. Межгрупповая дисперсия измеряет вариацию, обусловленную признаком , положенным в основу группировки, т.е.вызванную постоянными причинами.

где средняя по ί-ой группе; частота по ί-ой группе

3. Внутригрупповая дисперсия измеряет вариацию признака внутри группы, т.е. показывает влияние случайных факторов на вариацию признака внутри каждой группы. где - средняя по ί-ой группе,f- частота отдельного признака

х	f	x-
18 20 22	10 30 60	3 -1 1	9 1 1	90 30 60
Итого:	100	х	х	180

1 группа ,

2 группа ,

4. Средняя дисперсия из внутригрупповых показывает влияние случайных причин на вариацию признака.

5. где -внутригрупповые дисперсии

- численность ί-ой группы

Мы можем сказать, что если общая дисперсия составила 14.4 ,то дисперсия в размере 9 определена наличием применения удобрений, а 5.4 падает на долю остальных (прочих) причин.

Теперь рассмотрим правило сложения дисперсий:

Все причины= основные причины+случайные причины

Это правило, выражающее сложение вариаций, позволяет находить общую дисперсию по ее компонентам, когда индивидуальные значения признака неизвестны, а в распоряжении исследователя имеются лишь групповые показатели.